Differenzialgleichung - Anfänger

15.08.2008, 16:23

eierkopf1

Differenzialgleichung - Anfänger

Hallo!

Ich versuche mir gerade das Thema Differenzialgleichungen beizubringen.

Bis jetzt habe ich solche Aufgaben gelöst:
"Das allgemeine und auch das partikuläre Integral sowie das Richtungsfeld sind zu bestimmen."
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$
Randbedingung: $\begin{eqnarray*} y(e) = 4 \end{eqnarray*}$

Lösung:

Allgemeines Integral:
$\begin{eqnarray*} y=2*ln\mid x \mid + C \end{eqnarray*}$

Partikuläres Integral
$\begin{eqnarray*} y=2*ln\mid x \mid + 2 \end{eqnarray*}$

Nur jetzt ist die DG so angegeben (Aufgabenstellung ist dieselbe):

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} =2t \end{eqnarray*}$
Randbedingung: $\begin{eqnarray*} v(2)=4 \end{eqnarray*}$

Wie löse ich dieses DG?

Danke für die Hilfe.

mfg

15.08.2008, 16:26

system-agent

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Das kannst du genau gleich lösen wie die vorige, denn
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ ist eine andere schreibweise für $\begin{eqnarray*} y'(x) \end{eqnarray*}$ bzw. " $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet".
Das heisst:
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t}=v'=2t \end{eqnarray*}$

15.08.2008, 20:23

eierkopf1

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Zitat:

Original von system-agent
Das kannst du genau gleich lösen wie die vorige, denn
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ ist eine andere schreibweise für $\begin{eqnarray*} y'(x) \end{eqnarray*}$ bzw. " $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet".
Das heisst:
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t}=v'=2t \end{eqnarray*}$

Danke sehr. Jetzt ist es natürlich ganz einfach Gott

Ein paar Beispiele habe ich noch:

1)
$\begin{eqnarray*} y'=2*x*e^{-x} \end{eqnarray*}$
Randbedingung: $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

Lösung:
Allgemeines Integral:
$\begin{eqnarray*} y=x^{2}*e^{-x} + C \end{eqnarray*}$

Partikuläres Integral:
$\begin{eqnarray*} y=x^{2}*e^{-x} - e^{-1} \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} y'=3 * tan x \end{eqnarray*}$
Randbedingung: $\begin{eqnarray*} y(\pi )=-4 \end{eqnarray*}$

Lösung:
Allgemeines Integral:
$\begin{eqnarray*} y=-3*ln\mid cos (x) \mid +C \end{eqnarray*}$

Partikuläres Integral:
$\begin{eqnarray*} y=-3*ln\mid cos (x) \mid -4 + 3*ln\mid cos(\pi) \mid \end{eqnarray*}$

3)
$\begin{eqnarray*} \frac{ds}{dt} = 4* sin(3t)x \end{eqnarray*}$
Randbedingung: $\begin{eqnarray*} s(\frac{\pi}{2}) =\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Lösung:
Allgemeines Integral:
$\begin{eqnarray*} s= - 4 * cos (3t) + C \end{eqnarray*}$

Partikuläres Integral:
$\begin{eqnarray*} s= - 4 * cos (3t) + \frac{2}{3} + 4 *cos (\frac{3\pi}{2} ) \end{eqnarray*}$

Sind diese Lösungen korrekt?

Nun stehe ich aber wieder vor einem Problem:

4)
$\begin{eqnarray*} dy = \sqrt[3]{5x^{2}} dx \end{eqnarray*}$
Randbedingung: $\begin{eqnarray*} y(5)=10 \end{eqnarray*}$

Zuerst forme ich um auf $\begin{eqnarray*} dy/dx \end{eqnarray*}$

Was heißt eigentlich das "dx" und "dy" genau?

Nur wie integriere ich jetzt die Wurzel ? Durch Substitution?

Danke schon mal für die Mühe.

mfg

16.08.2008, 13:24

derkoch

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Zitat:

Original von eierkopf1

Was heißt eigentlich das "dx" und "dy" genau?

Nur wie integriere ich jetzt die Wurzel ? Durch Substitution?

Danke schon mal für die Mühe.mfg

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} =x^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

16.08.2008, 14:49

eierkopf1

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Danke für die Hilfe:

Mein Versuch zu 4.)

Allgemeines Integral:
$\begin{eqnarray*} y=\int_{}^{}~\sqrt[3]{5x^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$

Ich versuche es mit der Integration durch Substitution:
$\begin{eqnarray*} u=5x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{du}{dx} =10x \end{eqnarray*}$
umgeformt:
$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{10x} \end{eqnarray*}$

Oben eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt[3]{u} ~ \frac{du}{10x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}\int_{}^{}~u^{\frac{1}{3}} ~ \frac{du}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich noch x zum ersetzen.
$\begin{eqnarray*} x= (\frac{u}{5})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Dh:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}\int_{}^{}~u^{\frac{1}{3}} ~ \frac{du}{(\frac{u}{5})^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}\int_{}^{}~u^{\frac{1}{3}} ~ (\frac{u}{5})^{-\frac{1}{2}}~du \end{eqnarray*}$

Nur wie gehts jetzt weiter? Partielle Integration?

mfg

PS: Die Lösungen der Beispiele 1., 2. u. 3. sind falsch ;-)

16.08.2008, 18:07

system-agent

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Nutze lieber die Potenzgesetze:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

16.08.2008, 18:40

eierkopf1

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Zitat:

Original von system-agent
Nutze lieber die Potenzgesetze:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Danke für die Hilfe!

Jetzt komme ich auf eine Lösung:

$\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}}\int_{}^{}~x^{\frac{2}{3}}~dx \end{eqnarray*}$

Als allgemeines Integral komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} y=5^{-\frac{2}{3}}*3*x^{\frac{5}{3}}+C \end{eqnarray*}$

Das partikuläres Integral lautet:
$\begin{eqnarray*} y=5^{-\frac{2}{3}}*3*x^{\frac{5}{3}}-5 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

mfg

16.08.2008, 21:03

system-agent

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Stimmt alles Freude

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