Borelmengen

15.05.2006, 21:53

gast001

Borelmengen

Hallo!
Habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} Sei M Teilmenge aus \mathbb R^n Lebesgue-messbar. Zu zeigen ist, dass es Borelmengen F,G \in B(\mathbb R^n) existieren mit F Teilmenge aus M und M Teilmenge aus G und \lambda (G\M) = \lambda (M\F) = 0. \end{eqnarray*}$

ich habe nun überhaupt keine ahnung, wie ich da vorgehen soll...
...ich versteh auch nicht ganz was man unter Lebesgue-Maß und einer Borelmenge versteht....... verwirrt

kann mir das jemand erklären??
danke im Voraus

15.05.2006, 21:58

gast001

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Sorry, hier ist die Aufgabe:

Sei M Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Lebesgue-messbar. Zu zeigen ist, dass es Borelmengen F,G $\begin{eqnarray*} \in B(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ existieren mit F Teilmenge aus M und M Teilmenge aus G und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (G\M) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (M\F) = 0.

16.05.2006, 07:58

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Zitat:

Original von gast001
...ich versteh auch nicht ganz was man unter Lebesgue-Maß und einer Borelmenge versteht....... verwirrt

Du willst also nicht mehr und nicht weniger, als dass wir dir die Borel-Sigma-Algebra und das Lebesgue-Borel-Maß erklären und dann den Vervollständigungsprozess, der zur Lebesgue-Sigma-Algebra und dem Lebesgue-Maß führen? Das ist eine halbe Maßtheorie-Vorlesung - da ist es besser, du gehst erstmal in die Bibliothek, besorgst dir ein Buch dazu (z.B. Bauer: Maßtheorie) und ackerst die entsprechenden Kapitel durch. Günstig wär's auch, die Vorlesung zu besuchen.

Was allein die Frage mit den M,F,G betrifft, auf die kann ich gern antworten, aber dazu müssen die Grundlagen parat sein, sonst wird's hier überlang.

16.05.2006, 18:17

gast001

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Es ist nicht so, dass ich gar nicht verstehe...ich war ja in der Vorlesung und hab das Thema einigermaßen verstanden! Aber die Aufgabe kann ich trotzdem nicht lösen.... Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Hilft mir bei der Aufgabe offene Überdeckung der Menge G?? Oder bin ich auf dem falschen Weg??

16.05.2006, 18:37

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Der Beweis hängt entscheidend davon ab, wie ihr die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes zum Lebesgue-Maß definiert habt - da gibt es nämlich verschiedene Möglichkeiten, und damit dann auch notgedrungen verschiedene Beweisstrategien. Die mir geläufige Variante basiert auf der Messbarkeit nach Carathéodory mit Hilfe des äußeren Maßes.

Entschuldige meine harten Worte, aber wenn du sagst, dass du nicht weißt, was eine Borelmenge ist, dann muss ich arge Grundlagenlücken befürchten.

16.05.2006, 18:50

gast001

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Ja den Satz von Carathéodory haben wir auch, aber wie kann ich ihn hier anwenden?

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