Beispiel für konvergente Folge

15.05.2006, 22:11

Jim Pansen

Beispiel für konvergente Folge

Hallo Leude,

kennt jemand ein gutes, einfaches Beispiel für eine Folge von Zufallsvariablen, die P-stochastisch konvergent ist, aber nicht P-fast sicher?

Ich kenne nur eins aus dem Bauer, welches mit Indikatorfunktionen auf ziemlich komplizierten Intervallen konstruiert wird. Vielleicht hattet Ihr ja mal so eine Übungsaufgabe...

greets,
der Pansen

15.05.2006, 23:55

Pr0

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RE: Beispiel für konvergente Folge
$\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in \Bbb N} \end{eqnarray*}$ eine eine Folge unabhängiger ZV mit $\begin{eqnarray*} P(X_n =0) = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_n =n) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Dann konv. die Folge nach Wahrscheinlichkeit gegen 0, aber f.s. Konvergenz findet nicht statt

Im direkten Vergleich: Konvergenz nach W-keit ist gegenüber f.s. Konvergenz die schwächere Konvergenz, d.h.

$\begin{eqnarray*} X_n \rightarrow X \end{eqnarray*}$ P-f.s $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \, X_n \stackrel{p}{\rightarrow} X \end{eqnarray*}$

(Der Beweis verläuft per Induktion)

16.05.2006, 09:54

Jim Pansen

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RE: Beispiel für konvergente Folge
Vielen Dank,

genau so ein Beispiel habe ich gesucht!

Borel Cantelli liefert dann, dass die Folge nicht P-fast sicher konvergiert, oder?

thx,
der Pansen

16.05.2006, 12:33

Pr0

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RE: Beispiel für konvergente Folge
Welche Form meinst du?
Dachte eher an:
Eine Folge von ZV $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in\Bbb N} \end{eqnarray*}$ konv. P-f.s. gegen eine ZV X genau dann, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} P \left( \bigcup_{m=n}^{\infty} \{ | X_m - X| \geq \epsilon \} \right) \stackrel{ n \to \infty }{\longrightarrow} X \end{eqnarray*}$

16.05.2006, 13:14

Jim Pansen

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RE: Beispiel für konvergente Folge

Zitat:

Original von Pr0
Eine Folge von ZV $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in\Bbb N} \end{eqnarray*}$ konv. P-f.s. gegen eine ZV X genau dann, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} P \left( \bigcup_{m=n}^{\infty} \{ | X_m - X| \geq \epsilon \} \right) \stackrel{ n \to \infty }{\longrightarrow} X \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl Konvergenz gegen 0 (nicht X).

Meinte diese Formel für P-fast sichere Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \forall \alpha>0: P(limsup\mid Z_{n}-Z\mid\geq \alpha \ )=0 \end{eqnarray*}$

(folgt glaub ich mit Stetigkeit von oben für W-Maß aus Deiner Formel...)

Wegen $\begin{eqnarray*} Z_{n} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind die Ereignisse:

$\begin{eqnarray*} A_{n}( \alpha) = \{ \mid Z_{n}-Z\mid \geq \alpha \} \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Und $\begin{eqnarray*} P(A_{n}( \alpha ))=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<\alpha \leq n \end{eqnarray*}$
Da die unendliche Reihe der $\begin{eqnarray*} P(A_{n}( \alpha )) \end{eqnarray*}$ divergiert folgt mit dem Lemma von Borel Cantelli, dass

$\begin{eqnarray*} \forall \alpha>0: P(limsup\mid Z_{n}-Z\mid\geq \alpha \ )=1 \end{eqnarray*}$

Also nicht P-fast sichere Konvergenz.

Oder gehts noch einfacher und ich denk zu kompliziert?

16.05.2006, 13:24

Jim Pansen

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RE: Beispiel für konvergente Folge
Ok,

sehe grad mit Deiner Formel gehts direkt:

$\begin{eqnarray*} P(\bigcup_{m=n}^{ \infty }\mid Z_{m} \mid \geq \alpha )= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} {\sum_{m=n}^ \infty ~P(\mid Z_{m} \mid \geq \alpha ) \to \infty} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} {n \to \infty} \end{eqnarray*}$

(Gleichheit wegen Unabhängigkeit der Ereignisse)

16.05.2006, 13:34

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RE: Beispiel für konvergente Folge

Zitat:

Original von Jim Pansen
$\begin{eqnarray*} P(\bigcup_{m=n}^{ \infty }\mid Z_{m} \mid \geq \alpha )= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} {\sum_{m=n}^ \infty ~P(\mid Z_{m} \mid \geq \alpha ) \to \infty} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} {n \to \infty} \end{eqnarray*}$

(Gleichheit wegen Unabhängigkeit der Ereignisse)

Hier haben wir aber Unabhängigkeit und Disjunktheit verwechselt... LOL Hammer

16.05.2006, 13:40

Jim Pansen

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RE: Beispiel für konvergente Folge
Aaaaaargh!!! Forum Kloppe

Ich bin angesichts meiner Prüfung schon etwas balla balla...

Hoffentlich passiert mir so ein Fehler nicht in der Prüfung. traurig

War denn meine erste Überlegung richtig? Bzw. gibts einen schnelleren Beweis?

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Beispiel für konvergente Folge

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