Komplexe Aufgabenstellung!!!

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gosog Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Aufgabenstellung!!!
Hallo erstmal,


wir sollen erklären, warum eine Funktion 5. Grades nicht 3 relative Extremstellen haben kann??

Danke im Voraus!!!!


Und noch was:

Wir sollen diese allgemeine polynome funktion ; f(x)= a(index)n x(hoch)n+a(index)n-1 x(hoch)n-1+...+a(index)2 x(hoch)2+a(index)1 x(hoch)1+a(index)0 mit einem koeffezienten von null,ersten,zweiten,dritten,vierten und fünften Grades untersuchen....

Und dazu das Verhalten für groß \x\. Wir sollen eine Vermutung für die Anzahl an Nullstellen, relativen Extremstellen und Wendestellen FÜR JEDE MÖGLICHKEIT machen. Und dann das Allgemeine rationalisieren. Und zu allem noch Graphen zeichnen!!!


Bitte, könnt ihr mir helfen???

DAANKEE!!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Aufgabenstellung!!!
Willkommen

1. kein "dringend" im Titel und erstmal das Boardprinzip lesen

2. Du meinst wohl Polynomfunktionen mit Maximalgrad 5.


3. Wodurch ist denn denn ein relativer Extremwert gekennzeichnet? Ableitung betrachten.



4. Wie viele Nullstellen (Potentielle) Kandidaten kann die Ableitung denn haben?
 
 
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zur zweiten Aufgabe:

Soll man jetzt tatsächlich die "allgemeine Polynomfunktion"



n-ten Grades abstrakt untersuchen? Oder nimmt man konkret die Grade 1 bis 5 ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Aufgabenstellung!!!
Zitat:
Original von tigerbine
2. Du meinst wohl Polynomfunktionen mit Maximalgrad 5.


Warum änderst du die Vorgaben ab? Die Aussage ist tatsächlich nur bei exakt Grad 5 richtig.

@ gosog

Betrachte die Ableitung von . Welchen Grad hat sie? Was heißt das für die Ordnungen der Nullstellen von , wenn es drei davon gibt? Was folgt daraus über das Vorzeichenverhalten bei den Nullstellen?

Dann zur allgemeinen Funktion 5. Grades. Das Verhalten für erkennst du, wenn du beim definierenden Polynom die höchste Potenz ausklammerst.
Dann betrachte wieder und untersuche die Fälle

a) hat keine Nullstellen
b) hat genau eine Nullstelle (zwei Unterfälle hinsichtlich der Ordnung denkbar)
c) hat genau zwei Nullstellen (drei Unterfälle hinsichtlich der Ordnungen denkbar)
d) hat genau drei Nullstellen
e) hat genau vier Nullstellen

Arbeite mit Faktorisierungen für das Polynom von . Unterscheide nach Linearfaktoren und irreduziblen quadratischen Faktoren.

Für jeden der 5 Fälle (8 Fälle) lassen sich charakteristische Graphen für zeichnen.

Hier Beispiele für den Fall c):



Da die Aufgabenstellung offen ist, kann man sich natürlich auch andere Dinge überlegen, z.B. eine Charakterisierung nach den Nullstellen von einschließlich ihrer Ordnung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Aufgabenstellung!!!
Sorry, ich wollte den Polynomcharakter verdeutlichen und nicht den Grad reduzieren.
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank erstmal für eure Antworten!!!

Ich habe leider nicht verstanden, was ihr wirklich meint unglücklich ....
gosog Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Aufgabenstellung!!!
[quote]
@ gosog

Betrachte die Ableitung von . Welchen Grad hat sie? Was heißt das für die Ordnungen der Nullstellen von , wenn es drei davon gibt? Was folgt daraus über das Vorzeichenverhalten bei den Nullstellen?[quote]


Du sagst Nullstellen, hier sind aber die relativen Extremstellen gefragt...
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

frage:
wie würde man ein relatives extemum nachweisen?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nähmlich bedenken, dass es um die Nullstellen von f´ geht ...
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal will euch für eure Hilfe danken! Also, es ist so, die Aufgabenstellung ist auf Englisch, hoffe du kannst das einiger Maßen verstehen. Diese beiden Aufgaben lauten folgendermaßen:


1.) Graph the function f(x) = x^5/5 - x^4/4 - x^3 + x^2 + 2x and its derivative (Ableitung). Explain why a fifth degree polynomial cannot have 3 relative extrema.


2.) Investigate polynomial functions f(x)= a(index)n x^n + a(index) n-1 x^n-1+...+ a(index)2 x^2+ a(index)1 x^1+ a(index) 0 with a leading coefficient a(index)0 of zeroth, first, second, third, fourth and fifth degree:
Investigate the beviour for large /x/. Make a conjecture for the number of x-intercepts, relative extrema and points of reflections possible in EACH CASE. Rationalize the generalizations. Examples of all graphs should be included with your work.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine stetige Funktion 3 Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat, hat die Funktion vor der ersten Nullstelle ein anderes Vorzeichen als nach der letzten Nullstelle.
Nun überleg mal warum das bei einem Polynom 4ten Grades nicht sein kann.
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also, wenn man die Funktion 5. Grades ableitet, dass die Ableitung 4. Grades wird, das habe ich auch festgestellt. Und dann??
Das mit dem Vorzeichenwechsel habe ich nicht verstanden...


Aber die Ableitung ist dann 4. Grades, dass heisst doch nicht, dass es dann keine 3 relativen Extremstellen für eine Funktion 5. Grades geben kann????

verwirrt
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Ableitung ist eine Polynomfunktion 4ten Grade was bedeutet, dass sie axial symetrisch ist.
Wenn du jetzt annimmst, dass diese Funktion 3 Nullstellen hat (sprich die Stammfunktion hat 3 relative Extremwerte), dann mach dir doch mal eine Skizze von einer Funktion mit 3 Nullstellen und du wirst sehen, dass diese nicht axial symetrisch sein kann und daher auch keine Funktion geraden Grades sein kann.

lg
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das glaube ich nicht Felix, dass sie dann axial symmetrisch ist, weil es auch ungerade Potenzen haben kann, und auch hat. Und wenn es sowohl ungerade als auch gerade Potenzen hat ist sie weder symmetrisch zum Urspung als auch zur y-Achse
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo

aber das polynom 4. Grades kann doch trotzdem 3 Nullstellen haben, weil es ja heisst, maximal 4 Nullstellen, oder nicht????
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ok tut mir Leid kleiner Fehler :

Es muss nicht axial - symetrisch sein. Ups

Was tmo meint ist, dass eine Funktion 4ten Grades im - und + unendlichen positiv sein muss.

lg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hat aber eine Nullstelle die Ordnung 2, unterliegt also keinem Vorzeichenwechsel.

Denn wenn alle 3 Nullstellen die Ordnung 1 haben, gibt es eine vierte komplexe Nullstelle, was aber nicht sein kann, da komplexe Nullstellen immer konjugiert auftreten.
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

@ tmo,


ich hab das leider nicht verstanden, kannst du es nochmal langsam erklären, bitte?

Und: was meinst du mit Ordnung
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

BIITTEEE HEELFTT mir!!!! Also, warum kann eine Polynom 5. Grades keine 3 Extremstellen haben!?!??!?!!?


Ich muss ja noch die zweite umfangreichere Aufgabe machen!!!!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hör doch mal mit dem Gedrängel auf. Vielleicht haben die Helfer auch noch was zu erledigen unglücklich

Begriffe könntest du in der Zeit z.B. selbst mal nachschlagen. http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle Leopold hatte sie in seinem Post ja schon verwendet.

tmo spricht einen Satz an. Fundamentalsatz der Algebra. Aus diesem ergeben sich für reelle Koeffizienten weitere Folgerungen. z.B. dass ein solches Polynom immer mind. eine reelle Nullstelle hat. Ferner dass die komplexen Nullstellen paarweise konjugiert auftreten.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut ich versuchs mal ...

Man muss folgende Dinge beachten :

1) eine Funktion 4. Grades ist im - und + unendlichen immer + unendlich.

2) Nullstellen erster Ordnung sind ausschließlich Nullstellen und keine Extremwerte oder Wendepunkte ---> daher gibt es bei jeder Nullstelle einen Vorzeichenwechsel ---> die Funktion kann daher wegen Punkt 1 nicht 3 Nullstellen erster Ordnung haben

3) Eine Andere Begründung wäre das jede algebraische Gleichung nten Grades genau n Lösungen haben muss. 3 Nullstellen 1. Ordnung wären 3 reele Lösungen, es muss aber 4 geben(oder 2) da es keine ungerade Anzahl komplexer Lösungen geben darf.
--> die komplexen Lösungen müssen konjugiert auftreten (z.B. : 1 + i; 1 - i) da das Polynom ansonsten komplexe Koeffizienten besitzen würde.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht nötig, hier mit komplexen Zahlen zu argumentieren. Ich weiß nicht, ob gosog die kennt.

Wenn vom Grade 4 genau drei verschiedene Nullstellen hat, dann muß eine von diesen Nullstellen die Ordnung 2, die beiden anderen die Ordnung 1 haben (verwende den Satz, daß man für jede Nullstelle einen Linearfaktor abspalten kann, und überlege, wieso das dann nicht anders aufgeht). Das Ganze sieht also so aus:



sind hier die drei verschiedenen Nullstellen, von der Ordnung 2, und jeweils von der Ordnung 1, ist der Leitkoeffizient des zugehörigen Polynoms. Jetzt untersuche das Vorzeichenverhalten von bei . Gliedere so:



Beachte dabei: , etwa . Aus Stetigkeitsgründen ist dann in einer ganzen Umgebung von (analog schließt man, wenn ist). Und was ist nun mit ? Was folgt insgesamt?
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Felix, eine Funktion nten-Grades muss keine n Nullstellen haben, es kann maximal n Nullstellen haben!!!!

Ich glaube wir verwirren uns die ganze Zeit
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab auch nicht gesagt, dass eine Funtkion n Nullstellen haben muss sondern nur, dass eine algebraische Gleichung nten Grades n Lösungen hat. Augenzwinkern
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Leute, bitte seid so nett, und gibt mir einen Lösungsvorschlag entsprechend der Aufgabenstellung.


Leopold, du hast dir wirklich mühe gegeben, aber das was du da schreibst, haben wir noch nicht durchgenommen, und ich kann mir schlecht vorstellen, dass wir das so begründen müssen....


Kannst du für Ordnung einfach ein anderes Wort benutzen, weil ich weiss noch immer nicht was du damit meinst!
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ordnung gibt an ob es eine einfache, doppelte, .... Nullstelle ist.

Wenn du z.B. : Die Nullstellen der Funktion y = x² ermitteln sollst, so ist N(0/0)² eine doppelte Nulsstelle, da die Gleichung x²= 0 zwei Lösungen hat.
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Felix, bitte, also nochmal, warum kann ein Polynom fünften Grades nicht 3 relative Extrema haben, ist diese Lösung richtig??

Wenn nicht,dann sag mir wie sie richtig lautet:

Ein Polynom fünften Grades kann keine 3 relativen Extrema haben, da eine Funktion 4. Grades nicht 3 Nullstellen haben kann.
Eine Funktion 4. Grades ist im - und + unendlichen immer + unendlich und es kann somit nicht 3 Nullstellen haben.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

1) eine Funktion 4. Grades ist im - und + unendlichen immer + unendlich.

Verstehst du diesen Punkt ?

2) Nullstellen erster Ordnung sind ausschließlich Nullstellen und keine Extremwerte oder Wendepunkte ---> daher gibt es bei jeder Nullstelle einen Vorzeichenwechsel ---> die Funktion kann daher wegen Punkt 1 nicht 3 Nullstellen erster Ordnung haben.

Was Nullstellen 1.; 2. ; usw. Ordnung sind weißt du ja jetzt. Falls eine Nullstelle nur 1. Ordnung ist dann kann diese Nullstelle keine Nullstelle der Ableitung dieser Funktion sein.
Im konkreten Fall bedeutet das, dass die Kurve bei Nullstellen 1. Ordnung ihr Vorzeichen wechselt.

Ist dir das klar ?

Die Funktion kann deswegen keine 3 einfachen Nullstellen haben da sonst entweder im - oder im + unendlichen y negativ wäre, was ja für eine Funktion 4ten Grades nicht möglich ist.

edit : vielleicht solltest du auch wissen, dass eine doppelte Nullstelle 2 Nullstellen zählt ...
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

falsch

eine funktion vierten grades kann durchaus 3 verschiedene nullstellen haben bsp:


hat 3 nullstellen

für ein rel. extremum muss die nullstelle der ableitung aber einen ungeraden grad haben

4 is aber gerade und somit nicht als summe aus 3 ungeraden (+ beliebig vielen geraden) zahlen darstellbar

=> es gibt entweder 4, 2 oder 0 nullstellen mit ungerader ordnung

=> polynom fünften grades hat entweder 4, 2 oder 0 relative extrema
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Also nochmal,

Eine Funktion 5. Grades kann keine 3 relativen Extrema haben, weil eine Funktion 4.Grades, also die Ableitung, keine 3 einfachen Nullstellen haben kann, da sonst entweder im - oder im + unendlichen y negativ wäre, was ja für eine Funktion 4ten Grades nicht möglich ist, weil Funktionen 4. Grades im - oder im + unendlichen nur + sind.


Ist das ok für die erste Aufgabe?
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Nuble deine Lösung klingt überzeugend, hab sie aber nicht ganz verstanden, am Anfang sagst du, dass eine Funktion 4.Grades 3 Nullstellen haben kann, aber am dann sagst du das es doch nicht sein kann??

Das mit den 3 ungeraden Zahlen hab ich nicht verstanden....


Was wäre deiner Meinung nach eine gute Lösung für diese Aufgabe:


Es ist erstmal eine Funktion gegeben. Man soll dann die die Ableitung zeichnen und die Funktion selbst.
Danach: Erklären, warum eine Funktion 5. Grades eine 3 relativen Extrema haben kann?
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

einmal gehts um nullstellen allgemein

beim zweiten gehts um nullstellen ungerader ordnung, also die einfach, dreifach, 5-fach,... auftreten

im obigen beispiel:

ist der grad der nullstelle x=0 gerade, weil eine 2 im exponenten steht, wärend bei den beiden anderen nur 1 im exponenten steht und somit ungerade ist


die summe der exponenten der nullstellen muss im komplexen den grad des polynoms ergeben (fundamentalsatz)

so, jetz versuch mal die 4 so zu zerlegen, dass es die summe aus drei ungeraden zahlen ist

aus dem fundamentalsatz folgt eigentlich direkt, dass ein polynom ungeraden grades immer eine gerade anzahl relativer maxima haben muss...
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wir hatten noch den Fundamentalsatz noch nicht....



Ist diese Lösung richtig:

Da der Graph der ableitung von oben kommt und nach oben weiterverläuft oder von unten kommt und nach unten weiterverläuft, hat er entweder 0,2,4 nullstellen.

???

Aber warum ist das so?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwann musst du halt mal einsehen, dass es nicht um die Anzahl der Nullstellen geht sondern um die Anzahl der Nullstellen mit Vorzeichenwechsel unglücklich
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, tut mir wirklich leid, Aber kann mir denn jemand einen konkreten Lösungsweg geben, ohne irgendwelche Sätze, oder komplizierten mathematischen begriffen.......... unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gosog


Da der Graph der ableitung von oben kommt und nach oben weiterverläuft oder von unten kommt und nach unten weiterverläuft, hat er entweder 0,2,4 nullstellen mit vorzeichenwechsel.
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Graphen gezeichnet, und stelle fest, dass er doch kurz in den negativen Bereich übergeht


Aber reicht das wirklich?? Kannst du das noch einbisschen ausschmücken?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gosog
ohne irgendwelche Sätze, oder komplizierten mathematischen begriffen.......... unglücklich


Zitat:
Original von gosog
Kannst du das noch einbisschen ausschmücken?


wohl kaum...
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

(mit funktion is n polynom gemeint)

du darfst nur nullstellen betrachten, bei denen auch ein vorzeichenwechsel vorkommt, und nicht von nullstellen im allgemeinen

weil du nur vorzeichenwechsel beim nulldurchgang betrachtest, kannste sagen, dein polynom vom grad 4 is normiert (vor dem steht also eine 1)

wir wollen drei relative extrema im polymon vom grad 5, also muss das polynom vom grad 4 3 nullstellen ungerader ordnung haben. (wenn in der nullstelle der ableitung kein nulldurchgang is, also die nullstelle gerade ordnung besitzt, haste kein relative extremum, sondern nen terassenpunkt)

wir brauchen 3 nullstellen ungerader ordnung,
alles was vom grad 5 oder höher is scheidet logischerweise aus

nehmen wir ne nullstelle vom grad 3, brauchen wir nur noch einen linearfaktor, um des polynom vom grad 4 zu erhalten. (da aner 3>2 ist, is des auch uninteressant)
nullstellen vom grad 2 liefern keinen vorzeichenwechsel => uninteressant

=> wir brauchen einzelne linearfaktoren (nullstellen vom grad 1)
drei stück kann man problemlos im polynom vom grad 4 unterbringen.

teilen wir aber durch diese 3 nullstellen polynomial aus, bleibt ein vierter linearfaktor übrig, so dass es insgesamt 4 sind (und 4>3)

=> man kann ein polynom vom grad 4 nicht so zerlegen, dass genau 3 nullstellen mit vorzeichenwechsel und nen rest, der nicht ungerade ist, darstellen.

damit du aber genau 3 relative extrema hast, brauchst du aber in der ableitung genau 3 nullstellen mit vorzeichenwechsel.

da aber nicht nach genau 3 gefragt ist, nehm einfach folgende funktion als gegenbeispiel:



des ding hat 4 relative extrema

such dir 3 davon aus und du hast n polynom vom grad 5, wo du 3 relative extrema aufzeigen kannst...
(es sind mindestens 3, aber nicht genau 3, des is n unterschied)
gosog Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank für deine umfangreiche Antwort. Ich will aber begründen, warum eine Funktion 5.Grades keine 3 rel. Extrema haben kann.


???
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