Konvexe Funktionen

16.05.2006, 14:44

fraNK2203

Konvexe Funktionen

Hallo.

Ich soll folgendes zeigen, habe aber keine Ahnung wie man das machen kann:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=xf(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ ist genau dann auf dem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ konvex, wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ selbst auf diesem Intervall konvex ist.

Es wird nicht Differenzierbarkeit vorrausgesetzt.

Ich bin dankbar für jede Hilfe.

Gruß
Frank

16.05.2006, 15:43

Dual Space

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Wie habt ihr denn eine konvexe Funktion definiert?

16.05.2006, 15:58

fraNK2203

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Also wir haben das so definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} M\subseteq\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ konvex, $\begin{eqnarray*} f:M\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt konvex auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \lambda\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda x+(1-\lambda) y)\leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \end{eqnarray*}$

16.05.2006, 16:11

Dual Space

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Zitat:

Original von fraNK2203
Sei $\begin{eqnarray*} M\subseteq\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ konvex, $\begin{eqnarray*} f:M\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt konvex auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \lambda\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda x+(1-\lambda) y)\leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \end{eqnarray*}$

Na dann überprüf doch mal, ob die vorgelegte Funktion diese Eigenschaft erfüllt.

Alternativ könntest du es auch über das Produkt bzw. der Nacheinanderausführung von konvexen Funktionen machen. Das hängt aber davon ab, welche Sätze ihr schon bewiesen habt.

16.05.2006, 16:38

fraNK2203

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Ja, diese Ungleichung versuche ich ja auch zu zeigen, nur nachdem ich immer die Definition vom $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ anwende fällt mir keine sinnvoll Umformung oder Abschätzung mehr ein. Also wir hatten also Sätze die Jensensche Ungleichung, die Verkettung von 2 konvexen Funktionen ist konvex wenn beide konvex und die äußere monoton steigend ist, die Summe und das Skalare vielfache von konvexen Funktionen ist konvex und das Supremum konvexer Funktionen ist konvex. Damit komme ich aber nicht weiter.

17.05.2006, 12:52

fraNK2203

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So ich habe die Lösung.

$\begin{eqnarray*} &&g(\lambda x+(1-\lambda)y) =(\lambda x + (1- \lambda) y) f\left(\frac{1}{\lambda x + (1- \lambda)y}\right)\\ &&\mbox{mit $\frac{1}{\lambda x + (1- \lambda)y} =\frac{1+\lambda-\lambda}{\lambda x + (1-\lambda)y} =\frac{\lambda}{\lambda x + (1- \lambda)y}+\frac{1-\lambda}{\lambda x + (1-\lambda)y} =\frac{\lambda x}{\lambda x + (1- \lambda)y}\frac{1}{x} +\frac{(1-\lambda)y}{\lambda x + (1-\lambda)y}\frac{1}{y}$}\\ &&\mbox{und $\frac{\lambda x}{\lambda x + (1- \lambda)y}+\frac{(1-\lambda)y}{\lambda x + (1-\lambda)y}=1$}\\ &=&(\lambda x + (1- \lambda) y) f\left(\frac{\lambda x}{\lambda x + (1- \lambda)y}\frac{1}{x}+\frac{(1-\lambda)y}{\lambda x + 1-\lambda)y}\frac{1}{y}\right)\\ &\leq&(\lambda x + (1- \lambda) y) \left[\frac{\lambda x}{\lambda x + (1- \lambda)y} f\left(\frac{1}{x}\right)+ \frac{(1-\lambda)y}{\lambda x + (1-\lambda)y} f\left(\frac{1}{y}\right)\right]\\ &=&\lambda x f(\frac{1}{x})+(1-\lambda)y f(\frac{1}{y})=\lambda g(x)+(1-\lambda)g(y)\\ \end{eqnarray*}$

Sorry das das so schlecht ist. Das auf dieser Seite ist irgend wie kein richtiges LaTeX.

Edit: LaTeX. Ben

17.05.2006, 13:01

Ben Sisko

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Zitat:

Original von fraNK2203
Sorry das das so schlecht ist. Das auf dieser Seite ist irgend wie kein richtiges LaTeX.

Innerhalb der LaTeX-Tags gilt eine eqnarray*-Umgebung. Ausserdem mag er keine manuellen Zeilenumbrüche im Code ("Enter-Taste"), daher die ganzen brs.

Hab's mal angepasst (natürlich ist dann der Quellcode nicht mehr ganz so gut zu lesen Augenzwinkern

).

Gruß vom Ben

17.05.2006, 13:43

Dual Space

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Zitat:

Original von fraNK2203
So ich habe die Lösung.

Sicher?

Zu beweisen war doch aber eine "genau dann wenn"-Aussage. Meiner Meinung steht der Beweis von "wenn g(x) konvex, dann ist f(x) konvex" noch aus.

17.05.2006, 13:49

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von fraNK2203
So ich habe die Lösung.

Sicher?

Zu beweisen war doch aber eine "genau dann wenn"-Aussage. Meiner Meinung steht der Beweis von "wenn g(x) konvex, dann ist f(x) konvex" noch aus.

Da stimm ich zu.

Sorry, dass ich inhaltlich überhaupt nicht geguckt hatte.

17.05.2006, 14:07

fraNK2203

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Die andere Richtung kann man dann auf diese zurück führen.
Sei $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ konvex. Dann kann man $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ substituieren und erhält $\begin{eqnarray*} y\cdot g(\frac{1}{y})=f(x) \end{eqnarray*}$ . Dann hat man auch das "genau dann wenn".

17.05.2006, 14:16

Dual Space

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Sehr elegant! Freude

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