Kongruenzabbildungen

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Fanomos Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzabbildungen
Hallo zusammen,

ich habe die folgende Aufgabe bearbeitet und bin mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Es wäre sehr nett, wenn jemand mal drüber schauen könnte.
Vielen vielen Dank!

Hier die Aufgabe:

a) Beweisen sie den Satz: Für alle Vektoren und alle Geraden g der Ebene gilt

o S(g) = S(g) o <-->

b) Vervollständigen Sie entsprechend:

S(P) o S(Q) = S(Q) o S(P) <--> ...

Könnte jemand mal schauen ob das richtig bewiesen ist wenn ich sage:

Zu a)

V o S wird dargestellt als Geradenspiegelungen:
Somit gilt:

S(a) o S(b) o S(g) = o S(g) |mit a b und Abstand 1/2 ,
S(a) o S(g) o S(b) = |da g b und somit kommutativ
S(g) o S(a) o S(b) = S(g) o | da g a und somit kommutativ

--> o S(g) = S(g) o q.e.d.

Zu b) Es gibt nur zwei Möglichkeiten:

1) P=Q

2) P Q

zu 1)
Da eine Halbdrehung o Halbdrehung mit gleichem Zentrum kommutativ ist, wäre die Behauptung S(P) o S(Q) = S(Q) o S(P) in diesem Fall erfüllt. Ergebnis ist die Identität.

zu 2)
Verkettungen zweier Punktspiegelungen an unterschiedlichen Zentren ergibt eine Verschiebung. Wird dargestellt als das Produkt von 4 Geradenspiegelungen mit a b und c d und

-->
--> S(a) o S(b) o S(c) o S(d) = S(P) o S(Q)
--> S(a) o S(b) o S(c) o S(d) = |mit b und c als Verbindungsgerade PQ
--> S(a) o id o S(d) = |mit a b
--> S(a) o S(d) =
-->


andersrum:

--> S(c) o S(d) o S(a) o S(b) = S(Q) o S(P)
--> S(d) o S(c) o S(b) o S(a) = |mit c und b als Verbindungsgerade QP
--> S(d) o id o S(a) = |mit d a
--> S(d) o S(a) =
-->


--> S(P) o S(Q) S(Q) o S(P) <--> P Q


Somit ist die Behauptung nur dann erfüllt wenn P=Q.

Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß, Fanomos
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute einmal, daß für Spiegelung und für Verschiebung steht.
Deine Argumentation in a) ist nicht vollständig. Du beweist nur die Richtung der Aussage. Ich weiß natürlich nicht, welche Methoden du beim Beweis verwenden darfst. Ich würde hier mit Koordinaten arbeiten.

Stellen wir uns also die Gerade und den Vektor in der noch koordinatenfreien Ebene als gegeben vor. Jetzt legen wir in die Figur ein kartesisches -Koordinatensystem, so daß mit der -Achse zusammenfällt. Der Vektor kann jetzt durch zwei Koordinaten beschrieben werden:



Und die Spiegelung an ist gegeben durch



Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, so erhält man



Wird dagegen zuerst verschoben und dann gespiegelt, ergibt sich



Und jetzt kannst du die Äquivalenz



leicht zeigen.
Fanomos Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antwort. ich werde versuchen die Äquivalenz zu zeigen.

Schöne Grüße,
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