Grenzwertbeweis

16.05.2006, 16:14	1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbeweis Folgende Aussage soll bewiesen werden: $\begin{eqnarray} K:=\mathbb{R}, \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} X \subseteq K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: X \to K \end{eqnarray}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray} a \in K \end{eqnarray}$ ein Häufungspunkt. Dann gilt: $\begin{eqnarray} lim_{x \to a} f(x) =\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Für jede Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ in X mit $\begin{eqnarray} (x_n) \neq a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} lim(x_n) = a \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} lim f(x_n) = \infty \end{eqnarray}$ Bew: $\begin{eqnarray} lim_{x \to a} f(x) = \infty \Rightarrow \forall C \in \mathbb{R} \exists \delta > 0, \forall x \in X \mbox{mit} \|x-a\|<\delta \Rightarrow f(x) > C \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} (x_n) \to a \Rightarrow \|x_n - a\| < \delta \Rightarrow f(x_n) > C \end{eqnarray}$ Reicht das so?
16.05.2006, 16:20	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich sogar um eine Äquivalenz. Der Beweis müsste soweit okay sein, denk ich. Zumindest scheinst du die Idee des Satzes verstanden zu haben und was er aussagt. Im Wesentlichen folgt er auch unmittelbar aus der "Nicht-Unendlichkeits-Version"

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