Grenzwert berechnen (Folge)

17.08.2008, 15:29

HateMath

Grenzwert berechnen (Folge)

Diese Folge habe ich von meinem Lehrer bekommen und soll nun den Grenzwert mit einer der vier Grenzwetsätze berechnen. Der hat uns angegeben, dass es eine Nullfolge ist.

$\begin{eqnarray*} an=\frac{n+2}{(n-2)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendlich} an = \lim_{n \to unendlich} \frac{n+2}{(n-2)²} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich ausklammern, aber ich weiß nicht, wie es gehen soll...bin mir da nicht sicher, ob ich es richtig gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendlich} \frac{n*(1/n+2)}{n*(1/n-2)} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nciht weiter, aber ich weiß ja nicht einmal, ob es bis jetzt richtig ist. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfe.

17.08.2008, 15:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\infty[/latex]

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n+2}{(n-2)²} = \frac{n+2}{n^2-4n+4} = \frac{n^2(\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2})}{n^2(1-\frac{4}{n} + \frac{4}{n^2})} \end{eqnarray*}$

Du solltest erst die Klammer auflösen. So hast du nämlich schon ()² die Potenz vergessen. Alternativ für den Nenner

$\begin{eqnarray*} (n-2)^2=(n[1-\frac{2}{n}])^2 = n^2(1-\frac{2}{n})^2 \end{eqnarray*}$

17.08.2008, 16:11

HateMath(ausgeloggt)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
[quote]Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\infty[/latex]

[latex]a_n=\frac{n+2}{(n-2)²} = \frac{n+1}{n^2-4n+4}

Hm versteh ich nciht ganz, warum kommt denn da nun 1 hin?

17.08.2008, 16:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
Sorry, ich hatte mich vertippt. Hab es oben korrigiert.

17.08.2008, 16:14

HateMath

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
Okayyyyyy, danke ich schau es mir weiter an und versuche es nachzuvollziehen smile

17.08.2008, 16:46

HateMath

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
Hm nun komm ich aber nicht weiter...ich probier die ganze Zeit Sachen aus, aber ich komm nicht auf die Nullfolge, so wie es mein Lehrer gesagt hat.

17.08.2008, 17:03

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
Wieso denn nicht? Es ist n von 0 verschieden. Eine Voraussetzung brauchen wir noch, wir wissen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^m} = 0,~m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Dann nehme ich meinen Umgeformten Term, ich darf dann auch kürzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}~a_n=\lim_{n\to \infty}~ \frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}} \end{eqnarray*}$

Mit den http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Rechenregel

folgt dann doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}~a_n= 0 \end{eqnarray*}$

Was meinst du nun damit, dein Lehrer hat dir angegeben, dass es eine Nullfolge ist? Sicher, damit hat er dir schon den Grenzwert verraten. Aber du solltest doch Grenzwertsätze benutzen und nicht Folgenkriteren? Dann würden wir wie folgt vorgehen:

Die Folgenglieder sind für alle nat. Zahlen positiv, denn
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\overbrace{n+2}^{>0}}{\underbrace{(n-2)²}_{>0}} > 0 \end{eqnarray*}$

nun könntest du zeigen, dass die Folge streng monoton fallend ist. Daraus folgt die Konvergenz, allerdings zunächst noch nicht der GRenzwert. Einsatz einer Nullfolge als Majorante wäre möglich. Aber bist du sicher, dass ihr das so machen sollt?

17.08.2008, 17:18

HateMath

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
DAnke udn ja wir sollten die Grenzwertsätze benutzen, sowie Folgenkrieterien aufschreiben. Aber ich danke dir für deine Hilfe.

17.08.2008, 17:28

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert berechnen (Folge)
Wie gesagt, einen Bausatz für eine andere Variante habe ich dir gegeben. Spiel halt mal ein wenig damit herum Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert berechnen (Folge)

Verwandte Themen