Matrix finden, so dass Nullmatrix herauskommt

17.05.2006, 15:32

onkelbenny

Matrix finden, so dass Nullmatrix herauskommt

Finden Sie eine 3x3-Matrix $\begin{eqnarray*} B\not = 0 \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot B \ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

hab leider keinerlei ideen, wie ich an die sache rangehen soll. hat vielleicht jemand von euch eine idee??? vielen dank im voraus.

gruß
benny

17.05.2006, 15:39

Dual Space

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RE: Matrix finden, so dass Einheitsmatrix herauskommt

Zitat:

Original von onkelbenny
Finden Sie eine 3x3-Matrix $\begin{eqnarray*} B\not = 0 \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} \cdot B \ = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Viel Spass bei der Suche! Big Laugh

Oder meinst du vielleicht:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} \cdot B \ = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

17.05.2006, 15:41

JochenX

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Die Matrix ist offensichtlich (erste/zweite Zeile anschauen) NICHT invertierbar.
So absurd ist also die Aufgabenstellung nicht, und mit der Einheitsmatrix wäre es unlösbar.
Vielleicht ist der Threadtitel etwas komisch gewählt.

Btw: geht es hier um Matrizen (Runde Klammern) oder um Determinanten (eckige Klammern)?

edit:
Für das Problem A*B=0 [A,B,0 als Matrizen] habe ich schon eine Lösung smile

17.05.2006, 15:45

Dual Space

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Hast wieder mal Recht, Jochen. Aber wenn es um Determinanten geht ist die Aufgabe doch supertrivial, da die erste Determinante schon Null ist. Somit wäre B dann doch beliebig, oder?

Edit: Oha ... kann gar nicht um Determinanten gehen, da sonst ein Dimensionskonflikt dasteht, oder?

17.05.2006, 15:46

onkelbenny

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also es geht hier um matrizen. und die matrix die rauskommen soll, enthält nur nullen; keine einheitsmatrix. determinantenhatten wir leider noch nicht.

17.05.2006, 15:47

Dual Space

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Na gut, dann geht es also um das hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot B \ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

*Titel geändert*

17.05.2006, 15:50

onkelbenny

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hups, stimmt... hab mich vertan... sorry... habs in der aufgabe geändert.

dafür irgendeine idee???

17.05.2006, 15:58

JochenX

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Klar, wie hier direkt auffällt ist die erste Zeile ein Vielfaches der Zweiten.

Betrachte einfach mal eine Komponente in deiner Matrix B, was macht die für diese Multiplikation?
Nehmen wir z.B. mal die Komponente B_1,1 als a.
Welches a-fache von welcher Zeile/Spalte wird wo hinaddiert?
Wähle dann deine Matrix entsprechend, dass die meisten Einträge =0 sind und an entsprechendes Stelle z.B. das -2-fache der ersten Zeile auf das einfache der zweiten....

17.05.2006, 16:02

onkelbenny

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hmmm, stimmt... das ist ein guter hinweis.

dann müsste dies hier stimmen, oder sehe ich das falsch?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

wenn es stimmt, ok aber gibt es ein bestimtmes verfahren um diese matrix zu berechnen, wenn ich jetzt z.b. nicht so eine "einfache" matrix gegeben habe???

vielen dank für eure mühe!!!

17.05.2006, 16:06

Ben Sisko

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Kannst natürlich immer mit
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ansetzen...

17.05.2006, 16:07

onkelbenny

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sorry, aber vielleicht bin ich zu doof für diese welt, aber was soll ich damit anfangen???

lineares gleichungssystem aufstellen und lösen???

17.05.2006, 16:09

Ben Sisko

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ja, genau. ist natürlich ein wenig brute force, aber funktioniert halt (wenn es eine solche Matrix gibt).

17.05.2006, 16:10

JochenX

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dein B passt, ich hatte an das Viel einfachere $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gedacht.

Warum an so viele Spalten denken? smile

17.05.2006, 16:15

onkelbenny

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hmmm, frag ja nur ungern,a ber kann mir evtl. jemand mal dir gleichungen aufzeigen, damit ich das mal mit dem gausschen eleminierungsverfahren überprüfen kann? hab das schon mehrmals versucht aber bisher keinen erfolg gehabt.

danke dafür!!!

17.05.2006, 16:19

JochenX

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Das mit dem LGS läuft auf 9 Unbekannte/Gleichungen raus, bei einer allgemeinen nxn-Matrix auf n^2 Gleichungen!

Eine Gleichung für jede Komponente, z.B. a+2d+3g=0, mit Bens Bezeichnungen.

Praktischen Nutzen sehe ich aber nicht, dass ist also nicht unbedingt etwas, was du als Verfahren brauchen wirst.
bei nichtinvertierbaren nxn-Matrizen kannst du immer wie wir oben vorgehen.

Ich sehe hier den Lerneffekt, was macht dieses a in der Multiplikationsmatrix (oh es addiert das a-fache dieser Spalte auf....), für den Sinn der Aufgabe.

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