Funktion in Klammern schreiben

18.08.2008, 09:12

Gerni

Funktion in Klammern schreiben

Hallo Boardbenutzer,

ich habe noch eine Frage aus dem Bereich der Schulmathematik.

Ich habe folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=6x^{2}-60x+126 = 0 \end{eqnarray*}$

Um das $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ zu beseitigen werden Klammern gesetzt:

y=6(x-3)(x-7) = 0

Anschließend können die kritischen Punkte ausgerechnet werden.

Ich würde es auch mit der PQ Formel hinbekommen, aber ich möchte das System hinter dem Klammer setzen verstehen, denn oft ist es so einfacher.
Könnt ihr mir helfen?

18.08.2008, 09:33

Jacques

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Hallo,

Das "Klammern setzen" ist ja die Linearfaktorzerlegung des quadratischen Terms

$\begin{eqnarray*} 6x^2 - 60x + 126 \end{eqnarray*}$

Die Zerlegung kann man nicht einfach "per Hand" machen, also das ist kein simples Ausklammern. Sondern man muss zuerst die beiden Nullstellen x1 und x2 ermitteln (über pq-Formel o. ä.) und kann dann das folgende Schema anwenden:

$\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2) \end{eqnarray*}$

----

allgemein: hinter den meisten komplexen "Klammerzerlegungen" wie

$\begin{eqnarray*} x^2 -5x - 6 = (x + 1)(x - 6) \end{eqnarray*}$

steckt kein einfaches Schema, sondern man kommt darauf durch Verfahren wie die Polynomdivision.

18.08.2008, 09:47

Gerni

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Hallo Jacques,

danke für die schnelle Antwort. smile

Wo liegt der Nutzen der Linearfaktorzerlegung wenn ich du Nullstellen sowieso mit PQ Formel oder anderem errechnen muss?

18.08.2008, 09:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jacques
Sondern man muss zuerst die beiden Nullstellen x1 und x2 ermitteln (über pq-Formel o. ä.)

Es geht auch ohne Bestimmung der Nullstellen, wenn man die Methode der "quadratischen Ergänzung" verwendet. Augenzwinkern

18.08.2008, 09:57

TheWitch

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Zitat:

Original von Gerni
Wo liegt der Nutzen der Linearfaktorzerlegung wenn ich du Nullstellen sowieso mit PQ Formel oder anderem errechnen muss?

Nein, das musst du in diesem Falle nicht. Klammere zunächst nur die 6 aus, du erhältst $\begin{eqnarray*} y = 6(x^2-10x+21) \end{eqnarray*}$ . Wende dann auf die Klammer den Satz von Vieta an, suche also zwei Zahlen, die multipliziert + 21 und die addiert - 10 ergeben.

18.08.2008, 10:27

Jacques

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Zitat:

Original von TheWitch
Wende dann auf die Klammer den Satz von Vieta an, suche also zwei Zahlen, die multipliziert + 21 und die addiert - 10 ergeben.

+10

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = -p \end{eqnarray*}$

@ klarsoweit: Kommt man damit auch auf die Linearfaktorzerlegung? Ich dachte, nur auf die Scheitelpunktform verwirrt

18.08.2008, 10:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jacques
@ klarsoweit: Kommt man damit auch auf die Linearfaktorzerlegung? Ich dachte, nur auf die Scheitelpunktform verwirrt

Ja natürlich. beispiel:
$\begin{eqnarray*} x^2+4x+3 = x^2+4x+4-1 = (x+2)^2 - 1 = ((x+2)+1) \cdot ((x+2)-1) = (x+3) \cdot (x+1) \end{eqnarray*}$

18.08.2008, 12:13

Jacques

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Danke für die Erklärung. Freude

18.08.2008, 17:46

TheWitch

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Zitat:

Original von Jacques
+10 Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = -p \end{eqnarray*}$

Für die Linearfaktorzerlegung ist es geschickter, den Satz in der Form $\begin{eqnarray*} -(x_1 + x_2) = -x_1 -x_2 = p \end{eqnarray*}$ zu verwenden, das Vorzeichen von p also beizubehalten, da in der Linearfaktorzerlegung die Lösungen mit umgekehrtem Vorzeichen auftauchen.

19.08.2008, 09:19

Gerni

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Danke euch allen für die Hilfe. Jetzt weiß ich wie es zustande kommt und kann es selbst an ein paar Beispielen rechnen. Wink

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