Reihenwert berechnen ...?

17.05.2006, 17:19

Remmi

Reihenwert berechnen ...?

Hallo,

wie berechne ich denn den Reihenwert von:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2(n+1)+1}{n} x^n \end{eqnarray*}$

? Der Konvergenzradius war leicht zu berechnen und beträgt 1.
Aber über einen Hinweis zum Reihenwert würde ich mich aber freuen Augenzwinkern

Danke schonmal.

Tschö

17.05.2006, 17:34

Mathespezialschüler

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Hallo!
Du kannst das erstmal etwas aufteilen. Für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n^2(n+1)+1}{n}x^n=\sum_{n=1}^{\infty}~n^2x^n+\sum_{n=1}^{\infty}~nx^n+\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt ja für die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~x^n=\frac{1}{1-x}-1 \end{eqnarray*}$

und Potenzreihen können gliedweise differenziert werden. Wenn du dies geeignet machst, erhältst du sowohl einen "einfachen" Term für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~nx^n \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~n^2x^n \end{eqnarray*}$ .

Die dritte Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$ sollte dich an den Logarithmus erinnern!

Gruß MSS

17.05.2006, 17:39

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Nach dem binomischen Satz ist

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{-m} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} {n+m-1 \choose m-1} x^n \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} m\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem brauchst du noch

$\begin{eqnarray*} \ln(1-x) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

Das sollte genügen, um alles zusammenzubasteln.

P.S.: Viel zu langsam, aber ich poste es mal trotzdem als Alternative.

EDIT: Vergessenes Minuszeichen beim Logarithmus eingefügt. Danke an Trazom, wie auch immer. Augenzwinkern

17.05.2006, 18:06

Remmi

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Ok, danke für eure Hinweise. Ich verkrieche mich jetzt und schäme mich Hammer

Tschö,

Remmi

17.05.2006, 18:41

Trazom

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nach dem binomischen Satz ist

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{-m} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} {n+m-1 \choose m-1} x^n \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} m\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem brauchst du noch

$\begin{eqnarray*} \ln(1-x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

Das sollte genügen, um alles zusammenzubasteln.

P.S.: Viel zu langsam, aber ich poste es mal trotzdem als Alternative.

In der Summe für den Logarithmus fehlt noch ein (-1)^n

17.05.2006, 18:44

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Hast recht, ein Minus fehlt - aber nicht dort, sondern so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x) \end{eqnarray*}$

17.05.2006, 19:49

Sunwater

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Nun gilt ja für die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~x^n=\frac{1}{1-x}-1 \end{eqnarray*}$

und Potenzreihen können gliedweise differenziert werden. Wenn du dies geeignet machst, erhältst du sowohl einen "einfachen" Term für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~nx^n \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~n^2x^n \end{eqnarray*}$ .

mal ne Frage: - wenn er das differenziert, wie bekommt man dann die Summe raus? - das es durch's differenzieren leichter wird ist klar, aber besteht ein Zusammenhang zur ursprünglichen Summe?

17.05.2006, 22:59

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=1}^{\infty}~x^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}~(x^n)'=\sum_{n=1}^{\infty}~nx^{n-1}=\left(\frac{1}{1-x}-1\right)'=\frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}~nx^n=\frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

18.05.2006, 07:09

Sunwater

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cool - gut zu wissen, dass sowas auch funktioniert... - danke

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