Bildbereich R vereinigt mit unendlich?

18.08.2008, 10:08

gothino

Bildbereich R vereinigt mit unendlich?

Hallo,

in meinem Analysis Skript taucht im Zusammenhang mit halbstetigen Funktionen plötzlich folgende Notation auf:
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \cup \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet diese merkwürdige Angabe des Bildbereiches? Sowohl das positive als auch das negative unendlich sollten ja sowieso schon Teil der reelen Zahlen sein?
Danke und lg
gothino

18.08.2008, 10:13

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Zitat:

Original von gothino
Sowohl das positive als auch das negative unendlich sollten ja sowieso schon Teil der reelen Zahlen sein?

Woher hast du denn das? Nein, die gehören nach übereinstimmender Ansicht nicht zu den reellen Zahlen. unglücklich

18.08.2008, 10:15

klarsoweit

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RE: Bildbereich R vereinigt mit unendlich?

Zitat:

Original von gothino
Sowohl das positive als auch das negative unendlich sollten ja sowieso schon Teil der reelen Zahlen sein?

Hier wird wieder in merkwürdiger Weise mit "unendlich" jongliert. Weder plus noch minus unendlich sind Teil (oder Elemente) der reellen Zahlen. Es ist eh fraglich, ob die Mengen-Schreibweise mit "unendlich" zulässig ist. Aber heutzutage kann man ja alles definieren. Wie dem auch sei, würde ich die obige Schreibweise so interpretieren, daß f nach unten beschränkt ist, nach oben jedoch nicht.

18.08.2008, 10:58

gothino

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von gothino
Sowohl das positive als auch das negative unendlich sollten ja sowieso schon Teil der reelen Zahlen sein?

Woher hast du denn das? Nein, die gehören nach übereinstimmender Ansicht nicht zu den reellen Zahlen. unglücklich

Das war ungenau ausgedrückt: Ich habe gemeint dass wenn man die reelen Zahlen als Bildbereich definiert die Funktion dann gegen unendlich gehen kann

Die Definition stammt aus diesem Skript:
http://www.mat.univie.ac.at/~gue/lehre/08an3/analysis3.pdf
auf Seite 25 oben und Seite 26 oben

Ich würde das auch so definieren dass die Funktion nach unten beschränkt ist, hab aber keine sichere bestätigung dafür
lg
gothino

18.08.2008, 11:14

klarsoweit

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RE: Bildbereich R vereinigt mit unendlich?
Mir ist auch nach dem Lesen der Skriptstelle nicht klar, was mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Wäre für den Fall n=1 f(x)=x auch eine derartige Funktion?

18.08.2008, 11:32

Leopold

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RE: Bildbereich R vereinigt mit unendlich?

Zitat:

Original von klarsoweit
Mir ist auch nach dem Lesen der Skriptstelle nicht klar, was mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Wäre für den Fall n=1 f(x)=x auch eine derartige Funktion?

Ja. Sie bildet in den angegebenen Zielbereich ab. Man stelle sich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ als zwei Objekte vor, die nicht den reellen Zahlen angehören, für die aber

$\begin{eqnarray*} - \infty < x < \infty \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

gilt.

Wie wäre es mit den folgenden Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ als Beispiel?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \mbox{für} \ x \neq 0 \\ \infty & \mbox{für} \ x = 0 \end{cases} \, ; \ \ \ \ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & \mbox{für} \ x \neq 0 \\ \infty & \mbox{für} \ x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Sind diese Funktionen bei $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig von unten?

18.08.2008, 11:46

gothino

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RE: Bildbereich R vereinigt mit unendlich?

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

also f(x) ist nicht unten halbstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , g(x) schon, unter der Annahme dass die Definition des Bildbereiches mit
$\begin{eqnarray*} f,g: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ für beide funktionen richtig ist. Bei f bin ich mir da nicht sicher, da die Funktion ja gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht.

Dasselbe gilt für den Fall n=1, f(x) = x. Die Funktion geht sowohl gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ als auch gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . warum also sollte ich den Bildbereich für diese Funktion mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$ definieren? Oder anders gefragt, welche Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ haben nicht den Bildbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$ ?

18.08.2008, 11:51

Leopold

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Ich glaube, viele Probleme erledigen sich hier von alleine, wenn du dich einmal um den modernen Funktionsbegriff, insbesondere die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f: \ X \to Y \end{eqnarray*}$ und die zentralen Begriffe surjektiv, injektiv, bijektiv kümmerst.

Ob du das mit der Halbstetigkeit wirklich verstanden hast, weiß ich nicht, da Begründungen fehlen.

18.08.2008, 12:16

gothino

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Zitat:

Original von Leopold
Ich glaube, viele Probleme erledigen sich hier von alleine, wenn du dich einmal um den modernen Funktionsbegriff, insbesondere die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f: \ X \to Y \end{eqnarray*}$ und die zentralen Begriffe surjektiv, injektiv, bijektiv kümmerst.

Ob du das mit der Halbstetigkeit wirklich verstanden hast, weiß ich nicht, da Begründungen fehlen.

Ich verstehe all diese Begriffe.
Ich verstehe aber nicht inwiefern dein Beitrag auflöst wo der Unterschied zwischen
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \cup \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
liegt

Ist
$\begin{eqnarray*} \{f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \cup \{ +\infty \}\} \subset \{f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \{f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \cup \{ +\infty \}\} \supset \{f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \{f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \cup \{ +\infty \}\} =\{f: \mathbb R ^{n} \to \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ ?

18.08.2008, 12:34

Leopold

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Nun, die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ aus meinem vorvorigen Beitrag sind nicht vom Typ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wohl aber vom Typ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist dort übrigens auch nicht surjektiv, weswegen etwa $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ nicht im Bild von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegt. Das hat dich da ja auch nicht gestört. Und ebenso $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Bei dieser Funktion liegt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht im Bild.

Zu deiner letzten Frage: Keine Aussage ist richtig. Die Funktionen

$\begin{eqnarray*} q: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r: \ \ \mathbb{R} \to [0,\infty) \, , \ \ x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

sind zum Beispiel nicht dieselben, weil sie nicht dieselben Zielbereiche haben. Der Zielbereich einer Funktion ist konstituierend für diese.

18.08.2008, 12:54

gothino

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ok, ich verstehe dass der Bildbereich
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \cup \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$ nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ ist, wenn man den Punkt $\begin{eqnarray*} \{ +\infty \} \end{eqnarray*}$ so definiert wie du das vorher gemacht hast. Ich kenne diese Schreibweise auch aus der Topologie, aber in der Analysis ist das zum erstenmal vorgekommen und ich sehe in den ganzen weiteren Kapiteln nirgends dass eine Funktion auf diese Weise definiert ist.
Ich sehe aber dass diese H(Pfeil nach oben)(R^n) Funktionen auf S.26 Pkt. 26.6 so definiert sind dass sie nach unten beschränkt sind (zumindest meinem Verständnis nach smile

) und deshalb glaub ich auch eher dass die Notation auf die Beschränktheit der Funktion abzielt.

Wenn du aber ganz genau weißt dass es sich hier um die von dir verwendete Notation/definition handelt dann glaub ich dir das gerne. Ist das also eine Vermutung deinerseits oder weißt du es genau?
lg
gothino

18.08.2008, 13:13

Leopold

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Hier kannst du sehen, wie man auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \end{eqnarray*}$ eine Metrik und damit Topologie einführen kann. Und hier und in den folgenden Beiträgen findest du das Ganze visualisiert.

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