Vektoren miteinander multiplizieren - wie ist das "vorstellbar"?

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waynejuckts147 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren miteinander multiplizieren - wie ist das "vorstellbar"?
Hallo,

Vektoren kann man mit reelen Zahlen multiplizieren/dividieren oder miteinander selber addieren/subtrahieren. Das ist alles für mich "vorstellbar", denn die Verschiebung wird modifiziert. Soweit, so gut.

Wenn wir aber vom Multiplizieren mit Vektoren sprechen, so hört meine Vorstellungskraft auf. Wie um Himmfels Willen kann man sich vorstellen eine "Verschiebung", also einen Vektor, mit einer anderen Verschiebung malzunehmen? Und wieso kommt ein Skalar, eine reelle Zahl heraus?

Die Formeln kenn ich, ich kann sie auch anwenden. Aber vorstellen kann ich mir die Multiplikation trotzdem nicht.

Ich bitte deshalb hier um "Erhellung".

Danke
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie definierst du den die Multiplikation von Vektoren? Meinst du das euklidische Standardskalarprodukt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren miteinander multiplizieren - wie ist das "vorstellbar"?
Du bringt heir einiges durcheinander. Dein erster Satz beschreibt (nicht korrekt) die Skalaprmultiplikation. Die ist nicht auf reelle Zahlen beschränkt, sondern richtet sich eben nach dem Skalarkörper, der zum Vektorraum gehört.

Dein zweiter Satz versucht wohl eine Bilinearform zu beschreiben?

Es handelt sich hier auf jedenfall um verschiedene Rechenoperationen. Keine darf salopp mit "mulptiplizieren" umschrieben werden.
waynejuckts147 Auf diesen Beitrag antworten »

Zugegebenermaßen, ich habe mich missverständlich ausgedrückt.

Mit dem ersten Satz wollte ich die Skalarmultiplikation ansprechen. Diese "verstehe" ich soweit.

Was ich allerdings nicht so richtig "verstehe" ist das Skalarpodukt.
Hier kann ich nicht ganz nachvollziehen wie aus 2 Vektoren ein Skalar, eine reelle Zahl, entsteht bzw. wie sich das ganze überhaupt beweisen lässt.
m@he Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren miteinander multiplizieren - wie ist das "vorstellbar"?
Hallo,

löse Dich am besten an dieser Stelle davon, Dir in der Mathematik etwas vorstellen zu wollen. Es wird in Vektorräumen einfach eine Operation zwischen 2 Vektoren eingeführt, die bestimmten Bedingungen genügt (Definition eines inneren Produkts). Mit diesem inneren Produkt kann man dann eine Norm für Vektoren definieren (Wurzel des inneren Produkts des Vektors mit sich selbst) und (jetzt kommt Deine Vorstellungskraft leider doch wieder zum Tragen) letztendlich einen Winkel zwischen Vektoren berechnen (inneres Produkt der beiden Vektoren durch das Produkt der Normen der beiden Vektoren ist gleich dem Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren). Nimmt man als inneres Produkt das Skalarprodukt erhält man die euklidische Norm und der Winkel zwischen den Vektoren ist genau der, den Dein Winkelmesser auch anzeigen würde. Nimm ein anderes inneres Produkt, dann hast Du eine andere Norm und einen anderen Winkel! Aber versuch nicht, Dir das vorzustellen! Du wirst scheitern!

Edit: Dein Post kam dazwischen! Das läßt sich nicht beweisen, das ist eine Festlegung. Es läßt sich nur beweisen, daß diese Festlegung der Definition eines inneren Produkts genügt!
waynejuckts147 Auf diesen Beitrag antworten »

(@ m@he)

Punkt 1
Ist das Skalarprodukt dann gar kein "Produkt" im eigentlichen Sinne sondern vielmehr eine Zuordnung? Also, dass z.B. im dreidimensionalen Vektorraum dem Vektor a (a1,a2,a3) und dem Vektor b (b1,b2,b3) eine reele Zahl zugeordnet wird gleich a1*b1+a2*b2+a3*b3?

Punkt 2
Was meinst du genau mit "Definition eines inneren Podukts"? Ich habe das ehrlich gesagt in dem Zusammenhang so noch nicht gehört...
 
 
m@he Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Das Skalarprodukt ist rein mathematisch gesehen nichts anderes als eine Funktion aus V^2 in R, d.h. es wird einem Paar von Vektoren eindeutig eine reele Zahl zugeordnet. Der Name Skalarprodukt ist in diesem Sinne nur ein Name für diese Funktion und hat nichts mit einer Multiplikation zu tun, deren Ergebnis man ja auch Produkt nennt.

"Inneres Produkt" ist ein Name für eine Funktion aus V^2 in R, die bestimmten Bedingungen genügt. Diese kann man unter Wikipedia finden, ich kopiere sie hier nicht mit rein. Man kann für Vektoren verschiedenste Funktionen finden, die diese Bedingungen erfüllen, eine solche Funktion (eine unter vielen!!!) ist die Funktion, die man Skalarprodukt nennt. Dieses Skalarprodukt hat die interessante Eigenschaft mit der auf dem Skalarprodukt definierten Norm (die man euklidische Norm nennt) genau den reellen Wert als Norm zu liefern, den auch unser Lineal messen würde. Und wenn man mit diesem Skalarprodukt und der euklidischen Norm die Winkeldefinition anwendet, erhält man genau den Winkel (bzw. den Kosinus davon), den man mit dem Winkelmesser messen würde. "Inneres Produkt" ist nur eine wesentlich allgemeinere Form, das Skalarprodukt ist ein ganz spezielles "inneres Produkt". Wenn Du vom "inneren Produkt" noch nichts gehört hast, dann wirst Du vielleicht in dem derzeitigen Ausbildungsgang diese allgemeine Form nicht benötigen, Dir genügt dann offensichtlich das Skalarprodukt. Mathematiker sind da anders: Die müssen sich damit beschäftigen, denn euklidische Räume (Räume mit Skalarprodukt und euklidischer Norm) sind in der "Natur" eher die Ausnahme, leider!
rez Auf diesen Beitrag antworten »

Gott zu früh gefreut dass jemand die frage schon gestellt hat... erklärt wurde sie nicht, nur den-inhalt-meidend kritisiert und der schreiber demotiviert.
"löse Dich am besten an dieser Stelle davon, Dir in der Mathematik etwas vorstellen zu wollen."
ernsthaft?
man kann nur durch vorstellen des problems/des vorgehens bzw der lösung mathe verstehen. genauso könnte man sagen, gib an dieser stelle die hoffnung auf, in mathe irgendetwas verstehen zu wollen.

Ich wollte die herleitung des skalarprodukts besser verstehen bzw das skalarprodukt selbst nachvollziehen. die herleitung in meinem buch enthält vektoren (bzw ihre beträge) zum quadrat, aber auch summen von solchen vektoren/ihren beträgen. daneben sind die 2 beispielsvektoren a und b in einem dreieck abgebildet, und die summe aus der herleitung ist auch dargestellt, aber nicht wie es aussieht wenn a oder b zum quadrat genommen wird, obwohl das im rechenweg auch vorkommt.
wenn es nicht möglich ist sich das vorzustellen würde ich es akzeptieren, aber am ende dieser herleitung steht plötzlich eine krasse verbildlichung: wenn vektor mal vektor null ist, sind sie zueinander senkrecht! kann daraus wirklich niemand ableiten wie es aussieht wenn 2 vektoren mal genommen werden, bzw WARUM sie in einem solchen fall senkrecht sind?
ich brauche als antwort aber nicht noch eine herleitung (rechnerischen beweis), ich meine wirklich bildliches verständnis. ich werde es auch ganz sicher irgendwann rausfinden, hab gelernt in mathe einfach ewig weiterzumachen bis man drauf kommt. aber hilfe wäre schon nett. smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

@ m@the
Bitte beachte, dass wir uns hier in der Schulmathematik befinden, dafür sind deine Ausführungen eher weniger geeignet.

@rez:

Schau dir noch mal den Satz des Pythagoras an, daher bekommst du die euklidsche Norm.

Noch den Kosinussatz dazu und du hast das Skalarprodukt (oder auch inneres euklidsches Produkt).
rez Auf diesen Beitrag antworten »

die euklidsche norm? xD nie gehört
in wikipedia versteh ichs auch nicht
kannst du das vlt n bisschen mehr ausführen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die euklidsche Norm kann uafgefasst werden als "die Länge des Vektors", das ist sicherlich eine recht naive Vorstellung, reicht aber erst einmal aus.

Wir haben den Vektor (in obigem Bild rot). Die x-Komponente ist grün, die y-Komponente orange (ich habe die beiden Achsen falsch herum bezeichnet im Bild).

Wie lang ist die rote Strecke?

Mit Pythagoras ergibt sich: r²=o²+g² (r für rot, o für orange und g für grün).

Also allgemein .

Das ist die euklidsche Norm, durch die dann das Skalarprodukt induziert wird.

Es ist , also die Norm ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst.
rez Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh alles bis auf die letzte zeile... danke immerhin versteh ich jetzt mal wie die addition zustande kommt..
bin grad wohl einfach zu verwirrt versuchs morgen nochmal.. die verbindung zum vektormultiplizieren hab ich auch noch nicht..
ich denke da halt voll unmathematisch, zB wenn vektor + vektor = 0 wäre, würden sie beide gegenläufig sein, in die entgegengesetzte richtung zeigen.. wenn vektor * vektor = 0 sind sie senkrecht, überleg halt was das für die vektormulitplikation heißt...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

In der Physik gilt Arbeit=Kraft x Weg,



Was ist aber, wenn Kraft und Weg Vektoren sind ( was Sie auch sind ), und vielleicht nicht genau in dieselbe Richtung zeigen??
dank Skalarprodukt bleibt die Formel erhalten:



das ist doch praktisch und vorstellbar - und macht jede Menge Sinn.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rez
wenn vektor * vektor = 0 sind sie senkrecht, überleg halt was das für die vektormulitplikation heißt...


Schau dir den Kosinussatz noch einmal an:

dabei ist Gamma der Winkel im Punkt C, also der, der der Seite c gegenüberliegt.

handelt es sich um ein rechtwikliges Dreick, dann ist , also haben wir wieder den Pythagoras.

Nun setze in den Kosinussatz einmal die Längen der Vektoren ein (die euklidsche Norm) und sage mir, wie man in dem Bild unten den roten Vektor berechnet, wenn die beiden schwarzen gegeben sind.

[attach]25237[/attach]
rez Auf diesen Beitrag antworten »

hey, danke noch mal für die hilfe, musste mich ne weile anderen dingen widmen aber habe die sache nicht aufgegeben smile
hab einen mathelehrer an der schule um rat gefragt, der hat mir jetzt zumindest die rechnerische herleitung erklärt, also dass nach dem satz des pythagoras
l a - b l^2 = l a l^2 + l b l^2
und dass das eben immer dann der fall ist, wenn 2*(a1b1 + a2b2) = 0, da
l a - b l ^2 = (a1^2+a2^2)+(b1^2+b2^2) - 2*(a1ba + a2b2) und
l a l ^2 + l b l ^2 = (a1^2+a2^2)+(b1^2+b2^2).

was ich wahrscheinlich aber eigentlich wollte, war nur so ein grundverständnis, warum sie dann senkrecht sind, und dass hab ich jetzt vlt ein BISSCHEN..

denn bildlich wären ja zB die vektoren A (-1 l 1) und B (1 l 1) senkrecht, also allgemein immer senkrecht wenn zB D (a l b) und E (-b l a).
und dass könnte ich für mich etwa so begründen, dass beim vektorprodukt (oder wie es heißt) ja das produkt der ersten beiden koordinaten ADDIERT wird, deshalb müssen die beiden produkte den gleichen wert haben, nur das eine den negativen wert des anderen, damit 0 rauskommt.
leider brauch ich echt so genaue erklärungen für dumme, um mit mathe was anfangen zu können. :P aber solang ich sie dann auch immer am ende finde, ist es ja ok. smile
LG
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