Riemannscher Hebbarkeitssatz

18.08.2008, 18:22	ziff	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannscher Hebbarkeitssatz Hallo. In meinem Skript zur Funktionentheorie 1 steht zum Riemannschen Hebbarkeitssatz folgendes Sei $\begin{eqnarray} D \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ offen, $\begin{eqnarray} z_0 \in D, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f: D \backslash \{z_0\}\to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ sei holomorph Es gebe $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \le \alpha < 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C < \infty \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|f(z)\| \le \frac{C}{\|z-z_0\|^\alpha} \forall z \in D_\epsilon (z_0) \backslash \{z_0\} \end{eqnarray}$ Dann existiert eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} f_e : D \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_e (z) = f(z) \forall z \in D\backslash \{z_0\} \end{eqnarray}$ Ich verstehe leider nicht, was dieses $\begin{eqnarray} f_e \end{eqnarray}$ zu sagen hat. Soll das vielleicht $\begin{eqnarray} f_C \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f_\epsilon \end{eqnarray}$ heißen? Kann mir vielleicht auch jemand erklären, was dieser Riemannsche Hebbarkeitssatz überhaupt besagt? Ich finde ihn in diese Variante im Internet nämlich nicht, Ich finde nämlich nur Versionen, die sagen: Eine Singularität einer analytischen Funktion ist genau dann hebbar, wenn.... Ich finde aber, das passt hier nicht wirklich Ich danke euch schon mal für eure Mühe und lass nen schönen Gruß da ziff
18.08.2008, 18:54	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze zum Beispiel Wikipedia oder Wolfram. Grob gesagt sagt der Hebbarkeitssatz, das wenn man eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet $\begin{eqnarray} D\setminus\{z_0\} \end{eqnarray}$ hat [also quasi ein Punkt des Gebietes ausgestanzt wurde], und die Funktionswerte bleiben bei Annäherung an die Stelle $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ beschränkt, dann gibt es eine Funktion $\begin{eqnarray} g: D\to\mathbb C \end{eqnarray}$ die holomorph ist. Das bedeutet $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist genau gleich mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} D\setminus\{z_0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ergänzt den "fehlenden" Wert. Hier ist $\begin{eqnarray} f_e \end{eqnarray}$ einfach der Name dieser ergänzenden Funktion.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »