Lineare Algebra: Ansatz für Beweise |
| 17.05.2006, 20:29 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Lineare Algebra: Ansatz für Beweise ich studier im ersten Semester Mathe. Unser dieswöchiges Übungsblatt in Linearer Algebra besteht nur aus Beweisen. Allerdings fehlt mir meist der Ansatz wie man sowas beweist... Könnt ihr mir da weiterhelfen? Ich will jetzt keine Lösung, sonder nur den erste Schritt sozusagen, ob man die Sachen indirekt beweist oder eine andere Variante benutzt Aufgaben sind zb 1 Zeige: folgende Aussagen sind äquivalent (A,B TM X) A TM B X\B TM X\A A geschnitten B = A A vereinigt B = B 2 a f:X->Y und g:Y->Z sind bijektiv zeige: g°f (verknüpfung) : X->Z ist bijektiv b zeige: Ist g°f injektiv, so ist auch f injektiv. Ist g°f surjektiv, so ist auch g surjektiv und noch mehr solcher beweise. wenn ich mir das so alles vorstelle ist mir auch klar, dass das jeweils so ist. ich weiß halt nur nicht wie ich das beweisen soll. teilweise hab ich einen ansatz, weiß aber nicht ob es richtig ist. zu 1 weiß ich nur, dass ein ringbeweis genügt zu 2 g°f also wird ja erst f ausgeführt und dann g g°f = g(f(x) f ist bijektiv, dass heißt, jedes Element y von Y wird genau ein Element x von X zugeordnet. nun wird jedem Element z von Z genau ein Element y von Y zugeordnet. Da jedem Element y von Y nun genau ein Element x von X zugeordnet wurde, wird bei der Verknüpfung g°f:Y->Z jedem z von Z genau ein x von X zugeordnet. zu 2 b: kann man das so schreiben? indirekter beweis: zu zeigen: f nicht injektiv => g°f nicht injektiv f nicht injektiv => es existiert ein y' aus Y:y' = f(xi) = f(xj) : xi <> xj da g:Y->Z => es existiert ein z' aus Z : z' = g(y') => es existiert ein z' aus Z : z' = g(f(xi)) = g(f(xj)) : xi <> xj => g°f nicht injektiv indirekter beweis: zu zeigen g nicht surjektiv => g°f nicht surjektiv g nicht surjektiv =>g(Y) <> Z => es existiert ein z' aus Z : z' <> g(y) für alle y aus Y da bei g°f erst f ausgeführt wird also g°f = g(f(x) => es existiert ein z' aus Z : z' <> g(f(x)) für alle x aus X => g°f nicht surjektiv Ich weiß nun nicht, ob man das alles so beweisen darf und ob das ordentlich hingeschrieben ist. Bin für jede Hilfe dankbar! Gruß vom Filewalker |
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| 17.05.2006, 22:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
viel viel Text, vielleicht hättest du die Aufgaben lieber der Reihe nach posten sollen..... ich fange mal mit 1 an, wenn wir die haben, wagen wir uns an 2.
das ist richtig, verstehst du den Sinn dahinter? Das ist die Methode, die mit den wenigsten Beweisen (4) auskommt, es ist aber nicht immer die Geschickteste. welche Beweisteile bekommst du denn davon hin? |
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| 18.05.2006, 19:32 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also ich fang mal an: A TM B => X \ B TM X \A indirekter Beweis (X \ B keine TM X \ A => A keine TM B): X \ B keine TM X \ A => für alle x aus X gilt: x' aus X \ B und x' nicht aus X\ A => es existiert ein x' aus X für das gilt: x aus A und x nicht aus B => A nicht TM B weiß aber nicht ob das so richtig ist als nächstes käme dann: X \ B TM X \ A => A geschnitten B = A indirekter Beweis (A geschnitten B <> A => X \ B nicht TM X \A) A geschnitten B <> A => es existiert ein x' aus X für das gilt: x' aus A und x' nicht aus AgeschnittenB => x' aus A und x' nicht aus B => x' aus X\B und x' nich aus X\A => X\B nicht TM X\A dann ist zu zeigen: A geschnitten B = A =>A vereinigt B = B beweis: sei A geschnitten B = A => A TM B, da A komplett in B liegen muss, damit die Schnittmenge von A und B = A ist wenn A TM B dann gilt für jedes x aus B: x aus B oder x aus A => A vereinigt B = B dann zeigt man: A vereinigt B =B => A TM B Beweis: Sei A vereinigt B = B, so folgt, dass A in B liegen muss, sonst gäbe es Elemente die in A aber nicht in B liegen und trotzdem in der Vereinigungsmenge liegen => A TM B kann man die letzten beiden beweise so machen oder sollte man auch eine indirekten beweis führen? schonmal danke für deine hilfe! |
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| 18.05.2006, 20:45 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
die rote Zeile musst du mir schon erklären.... gehe das ganze lieber per direktem Beweis an: sei A TM B sei nun x in X\B <=> x in X und x nicht in B [kann nun x in A liegen? ne, weil....] => x in X und x nicht in A =>.... fertig
würde ich umformulieren: A Schnitt B <> A => ex. x in A, x nicht in B für dieses x gilt insbesondere: x in X (da A TM X) Danach geht's weiter, wie du vorschlägst 
beim roten machst du einen Abstecher zu (i).... die blaue Aussage ist Unsinn: für x aus B gilt IMMER x aus B oder....
das trotzdem gefällt mir nicht. mathematischer: Annahme: A nicht TM B, dann ex. x in A, x nicht in B x in A vereinigt B => A vereinigt B keine TM von B WIDERSPRUCH |
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| 19.05.2006, 09:23 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
danke erstmal. zum ersten beweis, die rote zeile: ja stimmt, das ist falsch... es müsste heißen X\B keine TM X\A => es exist. x' aus X mit x' aus X\B und x' nicht aus X\A => es exist. x' aus X mit x aus A und x nicht aus B also das hört sich für mich schlüssig an, ich weiß allerdings nicht ob man das wirklich so machen kann. deine variante wäre ja dann: sei A TM B sei nun x in X\B <=> x in X und x nicht in B (da A TM B ) => x in X und nicht in A => X\B TM X\A fehlt da noch irgend n schritt oder wars das wirklich schon?das sieht so wenig aus... beim zweiten beweis: wenn ich die zeile umformuliere hab ich ja 2mal die selbe, also die einfach weglassen? warum das "für dieses x gilt insbesondere x in X (da A TM X)"? gehört das zum beweis? wenn ja warum? also warum man das angeben muss. man die die rote zeile aber auch stehen lass, als zwischenschritt oder nicht? ist es denn schilmm beim dritten Beweis nen abstecher zu i zu machen? so gesehen ist das ja dann ne kombination von iii=>i und i=>iv, ich hab damit doch trotzdem dann gezeigt, dass aus iii=>iv folgt(?) sei A geschnitten B = A => A TM B, da A komplett in B liegen muss, damit die Schnittmenge von A und B = A ist aus A TM B => A vereinigt B = B, da keine x exist. die in A aber nicht in B liegen. zu 4: A nicht TM B => ex x in A mit x nicht in B => es ex x in AvereinigtB : x in A und x nicht in B => A vereinigt B <> B kann man das auch so machen? |
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| 19.05.2006, 09:37 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
bzw würd ich iii=>iv jetzt so machen A vereinigt B <> B => es ex x aus A mit x nicht aus B => es ex x aus A mit x nicht aus AgeschnittenB => A geschnitten B <> A |
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| 19.05.2006, 11:06 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
uff, irgendwie wird mir das grad so unübersichtlich, da immer alle 4 Beweise durchzudenken, lass uns das Beweisteil für Beweisteil durchgehen, ja? wie sieht dein Beweis 1)=>2) jetzt genau aus? fangen wir mit dem Teil an, weil er gerade parat liegt:
ich war mal so frei, noch diesen Zwischenschritt einzufügen, der macht das ganze noch vollständiger; deins war halt 2 Schritte auf einmal, vielleicht stört das wen So sollte das korrekt sein. So jetzt gib mal vollständig dein 1)=>2) an. Ja, meine Variante ist der ganze Beweis, aber ich interessiere mich auch für deine und das solltest du auch tun.
Zusammenfassung: 3)=>4) okay |
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| 19.05.2006, 11:34 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok kein problem... mein 1=>2 X\B keine TM X\A => es ex. x in X mit x in X\B mit x nicht in X\A (wenn x in x\B dass ist es nicht in B und wenn es nicht in X\A dann ist es in A) => es ex. x in X mit x nicht in B und x in A umgeformt es ex. x in X mit x in A und x nicht in B => A nicht TM B |
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| 19.05.2006, 11:44 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, das sieht gut aus. 
einfach die Definition von "kein TM" eingesetzt und dann damit rumgerechnet. Den direkten Beweis finde ich persönlich eleganter, aber sowas ist immer geschmackssache! Zusammenfassung: 1)=>2) okay 3)=>4) okay |
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| 19.05.2006, 11:53 | Filewalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich finds irgendwie leichter zu zeigen, dass etwas nicht der fall ist... ok dann jetzt 2)=>3) A geschnitten B <> A => es ex x in X mit x in A und x nicht in A geschnitten B => es ex x in X mit x in A und x nicht in B => es ex x in X mit x nicht in X\A und x in X\B bzw umgestellt es ex x in X mit x in X\B und x nicht in X\A => X\B keine TM von X\A |
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