Integral von Funktionenfolge

17.05.2006, 21:26

20_Cent

Integral von Funktionenfolge

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ eine Folge von Funktionen, die auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert. Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n,~n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ seien uneigentlich integrierbar in $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Untersuchen Sie, ob dann die Vertauschungsrelation

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_0^{\infty} f_n(x) dx = \int\limits_0^{\infty} f(x) dx \end{eqnarray*}$

gilt.

wenn die obere grenze eine konstante ist, kann ich einen satz aus der vorlesung anwenden, aber hier weiß ich leider nicht, wie ich das machen kann, hat jemand einen tipp?
mfG 20

17.05.2006, 23:07

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Oli!
Such ein Gegenbeispiel, wär mein Tipp. Big Laugh

Also ... ernsthaft: Versuchs mal mit $\begin{eqnarray*} f_n:[0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x}{n^2}\operatorname e^{-\frac{x}{n}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

18.05.2006, 16:21

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Max,
darauf wäre ich wohl nie gekommen Augenzwinkern

Jetzt hab ich den Zettel komplett, super smile

mfG 20

18.05.2006, 16:40

Auf diesen Beitrag antworten »

Womit bewiesen wäre, dass im Lemma von Fatou nicht immer nur Gleichheit gilt. Augenzwinkern

(Ich sehe eben alles von der Maßtheorie-Seite.)

18.05.2006, 19:23

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bins nochmal Augenzwinkern

Ich habe grade Schwierigkeiten die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, punktweise konvergiert die Funktionenfolge ja gegen f(x)=1, aber wie zeige ich, dass sie das auch gleichmäßig macht?
mfG 20

edit: ich glaube ich bekomme es doch hin...

edit2: war ein bisschen schreibarbeit, hat aber geklappt, danke nochmal max smile

18.05.2006, 20:03

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 20_Cent
punktweise konvergiert die Funktionenfolge ja gegen f(x)=1

Sie konvergiert doch aber gegen die Nullfunktion!

Gruß MSS