Grundsätzliches Verständnisproblem der bei Normen verwendeten Nomenklatur

18.08.2008, 23:38

tesat

Grundsätzliches Verständnisproblem der bei Normen verwendeten Nomenklatur

Hallo,

ein Freund und ich haben das Problem, dass wir die Definition einer Norm nicht so ganz verstehen. Insbesondere deshalb, weil uns z.B. diese doppelten Betragsstriche "stören". Wir haben irgendwie versäumt, deren Bedeutung zu verstehen.

Bei bekannten Voraussetzungen ist die erste Bedingung

$\begin{eqnarray*} ||V|| \geq 0, \forall \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ||v|| = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} impliziert \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$

Was genau ist ||V||, ||v|| ?

Und was ist eine Dreiecksungleichung (dritte Bedingung)? Was sind mögliche arithmetische Operationen bei Gleichungen, wo dieses doppelten Betragsstriche vorkommen?

Wäre bitte jemand so nett, diese Verständnisprobleme anhand der Definition einer Norm zu erläutern.

Viele Grüße,

Henrik aka tesat

18.08.2008, 23:42

tigerbine

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RE: Grundsätzliches Verständnisproblem der bei Normen verwendeten Nomenklatur
Zunächst einmal muss man ja ein Symbol haben, wenn man eine Norm darstellen will. (Norm). Wie ihr seht versteht man darunter eben eine Abbildung mit gewissen Eigenschaften.

Ihr müßt Euch daran gewöhnen, dass man an der Uni vom "speziellen" zum "allgemeinen" geht, d.h. das Schulwissen wird "teil" von etwas. D.h. der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm (und nicht umgekehrt).

Soweit nun klar?

19.08.2008, 00:15

tesat

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Aber wenn diese doppelten Betragsstriche grundsätzlich heißen, dass der Inhalt eine Norm darstellt, dann verstehe ich die Definition erst recht nicht. Seit wann kann man etwas definieren, indem man es mit sich selber erklärt?!

19.08.2008, 00:20

tigerbine

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Nun verstehe ich dich wiederum nicht. Wir wollen eine Abbildung definieren. Und das macht man über diese drei Bedingungen. Abbildungen, die diesen genügen fasst man unter dem Namen Norm zusammen, symbolisch ||.||.

Wenn du die Notation hinterfragst, dann ist dir aber auch f(x) bestimmt ein Dorn im Auge, oder? Augenzwinkern

19.08.2008, 00:33

tesat

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Du kannst es sicherlich so formulieren, dass es zu einem Dorn in meinem Auge wird. Davon bin ich überzeugt. Augenzwinkern

Ich probiere einfach mal, es zu erklären. f(x) ist doch einfach eine andere Schreibweise für f:x->y, wobei x und y Elemente der reellen Zahlen sind. x stellt den Definitions-, y den Wertebereich dar.
Also ist f im Prinzip eine Abbildung von x auf y, oder?

Zu unserem Missverständnis: Du hattest es vorhin so fomuliert, dass ||.|| generell eine Norm darstellt und nicht in erster Linie eine Abbildung im Allgemeinen. Es scheint augenscheinlich so zu sein, dass diese doppelten Betragsstriche in erster Linie eine Abbildung kennzeichnen und nur eine Norm sind, wenn dieses drei Bedingungen gelten.

Ich fange mal ganz von vorne an, damit es kein Vertun mehr gibt. Was bedeutet denn jetzt das große V und das kleine v. So, wie ich es bisher verstanden habe, bezeichnet V einen Vektorraum und v ist ein beliebiges Element von V, wobei es in der ersten Bedingung noch eingeschränkt wird, nämlich dass es nur Element der natürlichen Zahlen ist. Richtig so weit?

19.08.2008, 00:43

tigerbine

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Bring nun nicht "noch mehr" Dinge durcheinander. Augenzwinkern

Eine Abbildung, die den drei verlinkten Bedingungen genügt, wollen wir Norm nennen. Nun kennzeichnen wir diese speziellen Abbildungen unter der Menge von Abbildungen die wir uns so vorstellen können, eben durch ein Symbol ||.||. Dann weiß jeder, aha, hier liegt eine Norm vor, d.h. eine Abbildung mit bestimmten Eigenschaften.

Genauso ist es doch auch, wenn ich zu, Beispiel cos(x) oder exp(x) schreibe. Was soll denn das sein? Das sind doch im Grunde auch nur Symbole. Augenzwinkern

Wenn du den Link weiterliest, dann siehst du, dass man spezielle Normen, denn nur mit ||.|| können wir ja (außer das 3 Bedingungen erfüllt sind) erstmal nicht konkret den Funktionswert berechnen. Im Index werden dann z.B. konkrete Rechenvorschriften festgehalten. (siehe p-Normen).

Wird man nun schon einmal so konkret, muss man sich doch bei einer Abbildung doch auch fragen, von "wo" nach "wo" bildet sie ab. Dann kommen wir auch zu V und v.

Edit zum Edit:

Zitat:

Es fing gut an. Wir ordnen einem Element x ein Element y zu. Die Schreibweise mit f suggeriert dann, dass wir dies über eine Funktion tun wollen. Warum sollte aber in dem f schon drinstecken, dass x aus den reellen Zahlen ist. Das kommt ws nur aus deiner Erfahrung, dass es in der Schule eben (fast) immer so war. D.h. Aber nicht, das es immer so sein muss. Warum nicht einmal die Komplexen Zahlen? Oder ein Vektorraum? Augenzwinkern

19.08.2008, 01:15

tesat

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Ich werde diese zahlreichen Artikel, die du mir genannt hast, mal durcharbeiten...allerdings erst morgen, denn jetzt ist Heia angesagt. Ich hoffe, morgen bist du ebenso hilsbereit wie heute. Vielen Dank vorerst. Ich hoffe, meine Fragen werden dann morgen etwas konkreter sein.

19.08.2008, 01:18

tigerbine

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Dann schlaf mal gut. Schläfer

Sollte ich nicht da sein, weiß bestimmt ein anderer Rat. Wink

Zitat:

Bei bekannten Voraussetzungen ist die erste Bedingung

$\begin{eqnarray*} ||V|| \geq 0, \forall \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ||v|| = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} impliziert \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$

Du solltest dann nur gleich noch ergänzen, wo du das abgeschrieben hast. Augenzwinkern

So können wir nicht sagen, was V ist. Es steht nur da, dass $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten soll.

19.08.2008, 14:08

tesat

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Das habe ich von der Projektion meines Übungsleiters abgeschrieben.

V sei ein Vektorraum aus dem Zahlenkörper K € R.

19.08.2008, 14:38

klarsoweit

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RE: Grundsätzliches Verständnisproblem der bei Normen verwendeten Nomenklatur

Zitat:

Original von tesat
$\begin{eqnarray*} ||V|| \geq 0, \forall \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ||v|| = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} impliziert \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$

Dann sollte wohl das gemeint sein:

$\begin{eqnarray*} ||v|| \geq 0 ~ \forall ~ v \in \mathbb V \end{eqnarray*}$

19.08.2008, 14:58

tesat

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Jo, stimmt, habs gerade nochmal im Skript nachgeschlagen. Blöde Hiwis, von nix ne Ahnung. Big Laugh

Zum Thema:

Heißt die erste Bedingung also nur, dass die Länge jedes einzelnen Vektors des Vektorraums positiv oder 0 sein muss?
Die zweite, dass die Länge eines mit einem Faktor a (aus K) multipliziertem Vektor v = der Betrag eines Faktors a, multipliziert mit der Länge eines Vektors v ist?
Die dritte Bedingung, die Dreiecksungleichung, sagt für meine Begriffe aus, dass die Länge der Summe zweier Vektoren (hier die Seite eines Dreiecks) kleiner oder gleich der Summe der Längen zweier Vektoren sein muss. Richtig formuliert?

19.08.2008, 15:07

klarsoweit

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Ja, so kann man das ganze in Worte fassen. smile

19.08.2008, 18:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von tesat
mit einem Faktor a (aus K)

K ist ist hier entweder IR oder IC, denn eine Norm bildet stets in die reellen Zahlen ab.

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Grundsätzliches Verständnisproblem der bei Normen verwendeten Nomenklatur

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