Extremwertproblem(Kupfer Dose,Vmax...)

17.05.2006, 20:25	be	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem(Kupfer Dose,Vmax...) Nabend, zur zeit setze ich mit folgenden Problem auseinander und benötige ein wenig hilfe die Aufgabenstellung ist wie folgt Aus Kupferscheiben mit dem Durchmesser D sollen oben offene Dosen vom Durchmesser d im Tiefziehverfahren hergestellt werden. Durch Ablängen auf die höhe h bleibt die Oberfläche der Dose genau so groß wie die ursprüngliche Scheibenfläche. 1) Berechnen Sie den Durchmesser d der Dose allgemeingültig in abhängigkeit von D mit hilfe der Differentialrechnung so , daß das Dosenvolumen möglichst groß wird. 2. Wie groß werden d, h und Vmax, wenn der Scheibendurchmesser D=200 mm beträgt hab schon mal angefangen Da ich nach Vmax suche dachte ich mir meine HauptBedingung ist die Volumenformel der Dose HB : $\begin{eqnarray} V=\frac{d^{2}}{4} \pi h \end{eqnarray}$ nun stelle ich diese Formel nach h um und hoffe das es richtig ist und hab mir dann überlegt das mein Nebenbedingung eine dieser Unbekanten grössen durch die andere ausgedrückt werden muss um, nur noch eine Variable zu haben.Die einzige Formel in der beide Variablen vorkommen ist die Oberfächenformel. $\begin{eqnarray} O=(\frac{d^{2}}{4}\pi h) + (d\pi h) \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} O=\frac{D²}{4}\pi \end{eqnarray}$ NB : $\begin{eqnarray} h=\frac{\frac{D²}{4}\pi}{(\frac{d^{2}}{4}\pi+d\pi)} \end{eqnarray}$ Dann Setze ich in die HB für h die NB ein um d als alleinige Variale zu haben Zielfunktion $\begin{eqnarray} f(d)=\frac{d^{2}}{4} \pi \frac{\frac{D²}{4}\pi }{(\frac{d^{2}}{4}\pi+d\pi)} \end{eqnarray}$ Durch kürzen erhalte ich dann $\begin{eqnarray} f(d)=\frac{\frac{D²}{4}\pi}{d} \end{eqnarray}$ jetzt nur noch die $\begin{eqnarray} f'(d) =0 \end{eqnarray}$ setzen und nach den extrema suchen und die erste aufgabe ist fertig!! oder?
17.05.2006, 20:31	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
f(d) sieht anfangs ganz gut aus, aber wie kommst du auf die gekürzte Form?
18.05.2006, 10:47	be	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem(Kupfer Dose,Vmax...) Stimmt dieser Fehler ist wirklich gravierend!! Danke $\begin{eqnarray} f(d)=\frac{D²\pid²}{d²+4d} \end{eqnarray}$ ich hoffe das dies richtiger ist? $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{h(x)}{g(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{h'(x)g(x)-(g'(x)h(x))}{(g(x))²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(d)=\frac{(2D²\pid)(d²+4d)-((2d+4)(D²\pid²))}{(d²+4d)²} \end{eqnarray}$
18.05.2006, 10:53	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
f(d), f(x)? so ganz einig wirst du dir auch nicht, oder? Ein d kannst du schon rauskürzen, bevor du ableitest. du erhältst dann $\begin{eqnarray} f(d)=\frac{cd}{d+4}=\frac{cd+4c-4c}{d+4}=\frac{c(d+4)}{d+4}-\frac{4c}{d+4}=c+4c(d+4)^{-1} \end{eqnarray*}$ vielleicht kommst du mit dieser Form auch einfacher zum Ziel, c ist dabei dieser Konstante Faktor im Zähler. Aber Quotientenregel geht auch, aber am besten erst nach dem Kürzen von d, welches eh nicht 0 sein darf... Deine Ableitung sieht aber richtig aus, da kannst du auch draus vereinfachen.

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