Topologien auf R, R\Q und Q bestimmen

18.05.2006, 12:14	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologien auf R, R\Q und Q bestimmen moin, Sei IR die Menge aller reellen Zahlen. Welche der folgenden Familien von Teilmengen von IR sind Topologien auf IR ? (mit der üblichen Definition von Topologie) a) $\begin{eqnarray} \tau_1:=\{ \mathbb R,\varnothing,(a,b)\| a<b;a,b \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \tau_2:=\{ \mathbb R,\varnothing,(-r,r)\|r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \tau_3:=\{ \mathbb R,\varnothing,(-r,r)\|r \in \mathbb Q^+ \} \end{eqnarray}$ e) $\begin{eqnarray} \tau_5:=\{ \mathbb R,\varnothing,(-r,r)\|r \in \mathbb R^+ \setminus \mathbb Q \} \end{eqnarray}$ Eigenschaft (i), also IR und die leere Menge sind drin, ist überall erfüllt. Bleiben (ii):=Vereinigung beliebig vieler Teilmengen liegt drin, und (iii):=Schnitt von zwei Teilmengen liegt drin, zu zeigen. Also a) ist klar keine Topologie, seien (a,b) und (c,d) Intervalle mit a<b<c<d, dann besteht ihre Vereinigung aus zwei disjunkten Intervallen, liegt also nicht mehr in tau1. b) Ist eine Topologie auf IR, denn: Seien (-r,r) und (-s,s) zwei beliebige Intervalle. Fall1 : r=s : Schnitt = Vereinigung Fall2: r<s : Schnitt =(-r,r), Vereinigung=(-s,s) Fall3: r>s: Schnitt =(-s,s), Vereinigung=(-r,r) Bei c) und e) weiß ich das man aufpassen muß, da die Menge der rationalen Zahlen Q in sich selbst offen aber in IR abgeschlossen ist. Weiß aber nicht so recht wie ich es umsetze. (Folge bilden?) Dank & liebe Grüße, phi
18.05.2006, 13:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
c) und auch e) sind genau aus den von dir erwähnten Gründen keine Topologien, denn du kannst eine Folge positiver Zahlen $\begin{eqnarray} r_n\nearrow r \end{eqnarray}$ angeben mit c) $\begin{eqnarray} r_n\in\mathbb{Q},r\not\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ e) $\begin{eqnarray} r_n\not\in\mathbb{Q},r\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ In beiden Fällen ist aber $\begin{eqnarray} \bigcup\limits_{n} ~ (-r_n,r_n) = (-r,r) \end{eqnarray}$ . P.S.: Wo ist d) ?
18.05.2006, 14:30	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologien auf R, R\Q und Q bestimmen Danke Arthur du bist ein Schatz. D.h. also während bei c) z.B. alle Intervalle meinetwegen der Intervallschachtelung (-1.5,1.5),(-1.42,1.42),...alle in tau3 liegen, liegt ihre Vereinigung (-sqrt2, sqrt2) nicht in tau3. Bei e) müsste ich mir noch eine Konkretisierung überlegen. War noch mehr als d) dabei, wollte nur erstmal die Grundüberlegung verstehen. Im Ganzen sind bei der Aufgabe 3 Topologien zu entdecken, einen haben wir schon, also müssen hier noch 2 dabei sein: d) $\begin{eqnarray} \tau_4:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r]\|r \in \mathbb Q^+ \} \end{eqnarray}$ f) $\begin{eqnarray} \tau_6:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r]\|r \in \mathbb R^+ \setminus \mathbb Q \} \end{eqnarray}$ g) $\begin{eqnarray} \tau_7:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r)\|r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ h) $\begin{eqnarray} \tau_8:=\{ \mathbb R,\varnothing,(-r,r]\|r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ i) $\begin{eqnarray} \tau_9:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r],(-r,r)\|r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ j) $\begin{eqnarray} \tau_{10}:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-n,n],(-r,r)\|n \in \mathbb N , r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ Ich schreib sie erstmal hin; Überlegungen folgen noch. Bei den letzten beiden i) und j) sind quasi beide Ränder "Clopen" ? Da würde ich nach oben gesagtem schließen, das bei i) sowohl beliebige Folgen von Mengen, als auch ihre Vereinigung in tau 9 liegen. (Und der Durchschnitt auch)
18.05.2006, 17:24	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde sagen d) und f) sind keine Topologieen auf IR aus genau den gleichen Gründen wie c) und e). Bei den letzten vieren bin ich mir noch unsicher... mfg, phi
20.05.2006, 19:46	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologien auf R, R\Q und Q bestimmen Neuer Anlauf : b) war bis jetzt die einzige Topologie auf IR. Die in c),d),e) und f) definierten Kollektionen sind keine Topologieen da man Folgen angeben kann mit: c) und d) $\begin{eqnarray} r_n\in\mathbb{Q},r\not\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ e) und f) $\begin{eqnarray} r_n\not\in\mathbb{Q},r\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ Wobei dann in allen vier Fällen aber $\begin{eqnarray} \bigcup\limits_{n} ~ (-r_n,r_n) = (-r,r) \notin \tau_i \end{eqnarray}$ gilt für die entsprechenden Familien von Teilmengen. d) $\begin{eqnarray} \tau_4:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r]\|r \in \mathbb Q^+ \} \end{eqnarray}$ f) $\begin{eqnarray} \tau_6:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r]\|r \in \mathbb R^+ \setminus \mathbb Q \} \end{eqnarray}$ Eine Konkretisierung bei c) und d) wäre jede durch Intervallschachtelung (rationale Folge) definierte reelle Zahl. Eine Konkretisierung bei e) und f) wäre z.B. $\begin{eqnarray} r_n:=\sqrt[n]{2} \end{eqnarray}$ mit Grenzwert r=1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nun zu g) und h) : g) $\begin{eqnarray} \tau_7:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r)\|r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ h) $\begin{eqnarray} \tau_8:=\{ \mathbb R,\varnothing,(-r,r]\|r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ Eine Nullfolge lässt sich finden mit $\begin{eqnarray} r_n\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0]\neq \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0]\neq 0 \end{eqnarray}$ . Bei h) analog, also sind diese beiden auch keine Topologien auf IR. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nun zu i) und j) : i) $\begin{eqnarray} \tau_9:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-r,r],(-r,r)\|r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ tau_9 ist eine Topologie, denn $\begin{eqnarray} [-r,r] \cup (-r,r)=[-r,r] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [-r,r] \cap (-r,r)=(-r,r) \end{eqnarray}$ , wobei ich noch zeigen müsste daß auch überabzählbare Vereinigungen wieder "drin" sind. j) $\begin{eqnarray} \tau_{10}:=\{ \mathbb R,\varnothing,[-n,n],(-r,r)\|n \in \mathbb N , r \in \mathbb R^+ \} \end{eqnarray}$ Bei j) finde ich zumindest kein Gegenbeispiel, weiß aber noch nicht wie ich meine Vermutung beweise, das es eine Topologie ist. Oder liege ich falsch ? mfg, phi

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