Stetigkeit der Dirichletfunktion

18.05.2006, 14:21

Seppo

Stetigkeit der Dirichletfunktion

Es geht um folgende Version der Dirichletfunktion:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ \begin{array}{c}x \quad x \in \mathbb{Q}\\0 \quad x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

a) Bestimme für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \quad \underline{lim}_{x \to a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{lim}_{x \to a} \end{eqnarray*}$

und

b) für welche $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} lim_{x \to a} \end{eqnarray*}$

Ich stelle mir die Funktion also las die Gerade $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ vor, die natürlich nur aus punkten besteht zwischen denen die Funktion jeweils den Wert 0 annimmt, da zwischen jeder rationalen eine irrationale Zahl liegt.

1. x=0
Hier stimmen $\begin{eqnarray*} \underline{lim}_{x \to a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{lim}_{x \to a} \end{eqnarray*}$ überein, also existiert auch $\begin{eqnarray*} lim_{x \to a} \end{eqnarray*}$ und die Funktion ist also stetig in 0

2. a >0
Es ist $\begin{eqnarray*} \overline{lim}_{x \to a} = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \underline{lim}_{x \to a} = 0 \end{eqnarray*}$ , also existert $\begin{eqnarray*} lim_{x \to a} \end{eqnarray*}$ nicht, weil sie unterschiedlich sind.

3. a<0
Es ist wie im 2. Fall nur mit $\begin{eqnarray*} \overline{lim}_{x \to a} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \underline{lim}_{x \to a} = a \end{eqnarray*}$

Deswegen ist die Funktion nur für a=0 stetig.

Richtig?

18.05.2006, 14:44

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Jepp, alles vollständig richtig. Freude