Stammfunktion gesucht

18.05.2006, 14:31

Mathrat

Stammfunktion gesucht

Wer kann mir die Stammfunktion von f(x)=(ln(x))^2/x sagen? Für den Rechenweg wäre ich ebenfalls dankbar. Muss ich dazu Produkt- und Quotientenregel anwenden?

18.05.2006, 14:37

Ambrosius

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die stammfunktion kannst du eigentlich direkt sehen. Beachte das 1/x die Ableitung ist von ln(x). Erinnern an Kettenregel

18.05.2006, 14:52

klarsoweit

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Oder du nimmst die Substitution z=ln(x).

18.05.2006, 15:00

Mathrat

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also muss ich auf jeden fall die kettenregel anwenden, oder wie soll das mit der substitution genau gehen? @ambrosius: ich seh da überhaupt nix Hammer

18.05.2006, 15:08

klarsoweit

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Nun ja. Sozusagen die Umkehrung der Kettenregel, also das Substitutionsverfahren für Integrale.

18.05.2006, 15:33

Mathrat

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kann man das nicht mit partieller integration lösen? man könnte die funktion doch zu 1*(ln(x))^2/x oder lnx*lnx/x umformen, oder?

18.05.2006, 15:37

klarsoweit

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Damit geht es auch, wenn du das Integral so schreibst:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x} \cdot (ln(x))^2~dx \end{eqnarray*}$

18.05.2006, 15:53

Mathrat

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dafür müsste ich wiederum die Stammfunktion von (ln(x))^2 wissen. Die Stammfunktion von lnx ist ja x*lnx-x, ist dann die SF von (ln(x))^2 (x*lnx-x)^2 ?

18.05.2006, 16:02

klarsoweit

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Nein, andersrum partiell integrieren:
Stammfunktion von 1/x bilden und (ln(x))2 ableiten.

18.05.2006, 16:31

Mathrat

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also ich habe dann
f(x)=(ln(x))^2
g'(x)=1/x
f'(x)=2*(lnx)^(1/x)
g(x)=lnx

kann das stimmen? ich erhalte nämlich nicht das korrekte ergebnis unglücklich

18.05.2006, 17:34

klarsoweit

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Wieso nicht? Wie sieht denn deine partielle Integration aus?

18.05.2006, 17:45

Mathrat

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$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{7,38}~(ln(x))^2*1/x~dx \end{eqnarray*}$

Damit soll die Fläche zwischen der x-Achse (Tiefpunkt bei x=1) und dem Hochpunkt bei x=7,38 der Funktion (ln(x))^2/x berechnet werden. Das Ergebnis muss laut WinFunktion 2,662 FE sein. Leider komme ich mit o. g. Integration nicht darauf.

18.05.2006, 18:59

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x} \cdot (ln(x))^2~dx = ln(x) \cdot (ln(x))^2 - \int_{}^{}~ln(x) \cdot 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du das rechte Integral auf die linke Seite schaffen und dann danach auflösen. Augenzwinkern

18.05.2006, 21:44

Mathrat

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das heißt, ich müsste zunächst vom rechten integral die stammfunktionen bilden, um es vom linken abziehen zu können. das sähe dann so aus, oder?

$\begin{eqnarray*} [ln(x)\cdot (ln(x))^2] - 2[x\cdot lnx - x \cdot (ln(x))^2 dx] \end{eqnarray*}$

Beim Einsetzen der Werte komme ich aber trotzdem nicht aufs richtige Ergebnis verwirrt

19.05.2006, 08:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x} \cdot (ln(x))^2~dx = ln(x) \cdot (ln(x))^2 - \int_{}^{}~ln(x) \cdot 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

Hei die nei. unglücklich

Was ist hier das rechte Integral? Doch wohl das:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ln(x) \cdot 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt schaffen wir das auf die linke Seite:
$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \int_{}^{}~\frac{1}{x} \cdot (ln(x))^2~dx = ln(x) \cdot (ln(x))^2 \end{eqnarray*}$
Jetzt noch durch 3 dividieren. Fertig.

19.05.2006, 13:56

Mathrat

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ich versuche das gerade nachzuvollziehen, scheitere aber bereits an deiner ableitung von (ln(x))^2. meines erachtens ist f'(x)=2*(lnx)^(1/x) also hoch 1 durch x, nicht mal 1 durch x.
wenn ich anschließend dann den flächeninhalt berechnen möchte, muss ich doch zunächst das gesamte integral in stammfunktionen umwandeln, um die werte einsetzen zu können? jedenfalls hab ich das nur so gelernt.

19.05.2006, 14:07

Bjoern1982

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Zitat:

meines erachtens ist f'(x)=2*(lnx)^(1/x) also hoch 1 durch x, nicht mal 1 durch x.

Bedenke, dass die äußere Funktion a(x)=x^2 ist und die innere Funktion i(x)=ln(x) ist.

wenn du also die äußere Funktion ableitest und die innere einsetzt, also a'(i(x)) bildest ergibt sich

$\begin{eqnarray*} a'(i(x))=2\cdot ln(x)^1 \end{eqnarray*}$

Das musst du gemäß der Kettenregel nun noch mit der inneren Ableitung i'(x) multiplizieren, also mit 1/x...

Gruß Björn

19.05.2006, 14:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathrat
ich versuche das gerade nachzuvollziehen, scheitere aber bereits an deiner ableitung von (ln(x))^2. meines erachtens ist f'(x)=2*(lnx)^(1/x) also hoch 1 durch x, nicht mal 1 durch x.

Wieso hoch 1/x? verwirrt

Bei der Kettenregel heißt es "mal innere Ableitung" und nicht "hoch innere Ableitung".

Und wenn du in meine letzten Beitrag schaust, dann steht da links das gesuchte Integral und rechts eine Stammfunktion, nämlich F(x) = (1/3) * (ln(x))³ Da kannst du die Grenzen einsetzen und gut ist.

19.05.2006, 14:17

Mathrat

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Es hat soeben "klick" gemacht und das Ergebnis stimmt jetzt auch Gott

Vielen Dank für die kompetente Hilfe Freude

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