komplexe zahlen

18.05.2006, 15:23

.phiL

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komplexe zahlen

haben mit komplexen zahlen angefangen, aber irgendwie scheine ich das noch nciht ganz zu peilen.
Mein Problem sieht wie folgt aus,
ich soll beweisen das wenn w eine complexe Zahl ist eine complexe Zahl z exsistiert, dass gilt z²=w. heißt ja eigentlich das
$\begin{eqnarray*} \sqrt{w} \end{eqnarray*}$ =z sein soll, nur wie beweise ich das?
hab einfach mal angefangen mit
(x+yi)(x+yi)=w
durch ausmultiplizieren habe ich dann erhalten(i²=-1)
x²+2xyi-y²=w
am ende müsste da ja jetzt stehn das w=x+yi ist bzw mit anderen variablen, können ja eigentlich nicht die selben sein.
ich peile grad garnichts mehr, bessere ideen zur lösung dieser aufgabe?
dank im voraus

18.05.2006, 15:47

sqrt(2)

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Du hast doch schon

$\begin{eqnarray*} w=(x^2-y^2)+2xy\operatorname i \end{eqnarray*}$ .

Wegen der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bezüglich Addition und Multiplikation ist das wieder eine komplexe Zahl der Form $\begin{eqnarray*} a+b\operatorname i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2xy \end{eqnarray*}$ .

edit: Du hast nur w und z vertauscht, also ein w bestimmt, für das $\begin{eqnarray*} w^2=z \end{eqnarray*}$ ist.

18.05.2006, 15:49

Ben Sisko

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Aber die Frage war ja andersrum, man müsste im Prinzip x und y in Abhängigkeit von a und b angeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.05.2006, 15:50

JochenX

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Setze doch auch mal w=a+bi und mache dann Komponentenvergleich

Behauptung ist ja: für alle a,b existiert x,y mit....
dabei könnten dir einige grundlegende Dinge der Analysis helfen, z.B. dass Wurzel aus einer reellen Zahl jeden nichtnegativen Wert annehmen kann.

Versuch erstmal das komponentenweise Vergleichen und sage, wie weit du kommst.

18.05.2006, 17:53

.phiL

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kk ich versuchs mal, aber das von sqrt(2) find ich schon ganz einleuchtend Augenzwinkern

Augenzwinkern

versuche mich nochmal mit dem Komponentenvergleich... wobei ich vermute, dass das aufs selbe hinausläuft oder nicht? naja ich werds ja sehn
viele dank an alle die sich mit meinem problem beschäftigt haben

18.05.2006, 19:33

JochenX

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Zitat:

ich versuchs mal, aber das von sqrt(2) find ich schon ganz einleuchtend

Benedikts Aussage hat mit deiner aber direkt nichts zu tun

Er zeigt, dass für x in C x^2 wieder in C liegt.
Aber nicht, dass es zu einem x in C eine "Wurzel aus x" in C gibt.

Zitat:

wobei ich vermute, dass das aufs selbe hinausläuft oder nicht?

ergo: nein

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18.05.2006, 21:26

sqrt(2)

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Man kann es noch retten, indem man das GLS jetzt nach x und y umformt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.05.2006, 22:11

JochenX

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richtig, genauer, man zeigt, dass es in jedem Fall eine (i.A. nicht eindeutige, völlig egal) Lösung für x und y gibt.

Vielleicht bietet es sich an, vorher die einfachen drei Spezialfälle a=0, b=0 und a=b=0 abzuhandeln, um später a,b <>0 voraussetzen zu dürfen.

19.05.2006, 11:10

.phiL

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wenn ich zeige das a=b=0 ist reicht das dann nicht um zu zeigen das a,b<>0? weil sie können dann ja schon nicht mehr null sein
edit:quatsch total der müll den ich grad fasel Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2006, 11:12

JochenX

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Zitat:

Original von .phiL
wenn ich zeige das a=b=0 ist reicht das dann nicht um zu zeigen das a,b<>0?

wenn du zeigst, dass a und b 0 sind, dann beweist du damit sicher nicht, dass sie ungleich 0 sind !?

was genau wolltest du wirklich sagen?

19.05.2006, 11:23

.phiL

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moment bin noch am probieren das eben war schwachsinn

also wenn ich das richtig verstanden habe was du mir vorschlägst soll ich gucken wie mein x und mein y aussieht wenn ich das GLS(gleichungssys) nach x und y umforme, richtig? nur dann steh ich vor nem problem, ich hab das jetzt mal umgeformt zu y²+a+bi=2xyi+x² wenn ich das jetzt nach x umformen will müsste ich ja durch 2yi dividieren dann hab ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{2yi} \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2006, 11:38

JochenX

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wie schon gesagt, bevor du durch irgendwelche Unbekannten teilst, solltest du erst klarstellen, dass die nicht 0 sind!
Dabei bietet es sich an, folgende Fallunterscheidung für (a,b) durchzuführen (!):

Den Teil werde ich erstmal mit dir gemeinsam angehen, es gibt 4 Fälle:
Fall 1: a=b=0
Fall 2: b=0, a<>0
Fall 3: a=0, b<>0
Fall 4: a,b je <>0

Fall 1 ist simpel, eine Wurzel aus 0+i*0 ist natürlich 0.
Fall 2 sollte auch kein Problem sein, behandle hier zur Not getrennt den Fall a<0, a>0. Benutze die bekannte Tatsache, dass jede positive reelle Zahl eine Wurzel hat.
Fall 3: ähnlich wie 2, berechne hierfür eine Wurzel aus i und dann geht das analog

Fall 4 ist jetzt der interessante Fall.
Für den Beweis hier können wir jetzt a,b <>0 voraussetzen, was sehr wichtig ist.
eine Zahl (x+iy), die (x+iy)^2=a+ib erfüllt, muss, wie oben gesehen, folgende Gleichungen erfüllen:
x^2-y^2=a
2xy=b, hieraus folgt jetzt insbesondere gleich mit, dass x und y selbst <>0 sind!

Forme jetzt mal die zweite Gleichung nach x um und setze das in die erste ein!

Hab's mal selbst eingesetzt, der Rest ist im Grunde einfache Analysis.

19.05.2006, 11:45

.phiL

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beim 3. fall stellt sich mir ne frage, wie kann ich denn aus dem bi ne wurzel ziehen? das hab ich noch nie gemacht :/ den 1. und 2. fall hab ich gelöst beim 2. fall gehts aber nur wenn a>0 ist oder weil aus einer negativen zahl kann ich ja keine wurzel ziehn...
also den 4. fall versteh ich dann schon wieder besser. auch warum du das so hingeschrieben hast, leuchtet mir ein...

19.05.2006, 12:52

JochenX

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ooohje, da scheinen noch arge Lücken bei den Komplexen Zahlen zu sein!

Fall2: ist a negativ, so ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{-a}*i \end{eqnarray*}$ eine günstige Wurzel
Fall3: ist bi mit b positiv, so ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{b}*\sqrt{i} \end{eqnarray*}$ eine günstige Wurzel. Dabei ist Wurzel(b) klar, Wurzel(i) kannst du explizit einfach ausrechnen.
Für b<0 verfahren wir natürlich wie bei Fall 2.

19.05.2006, 13:38

.phiL

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gut erkannt, aber was soll ich machen grad mal 1.semester und gleich die vorlesungen auf englisch, freu ich mich sehr drüber und sowas mit wurzel ziehn haben wir noch nicht gemacht... tut mir ja wirklich leid das ich da noch nicht so "fitt" bin bzw. gut vorbereitet worden bin : /

19.05.2006, 14:06

.phiL

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nochmal ne frage zu fall3 b<0
ist das dann ne mischung aus fall2 negativ und fall3?
müsste ja eigentlich oder? also $\begin{eqnarray*} i\sqrt{-b} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ bei fall 2 wars ja der reelle teil aus dem ich ne wurzel zieh deswegen hab ich jetzt mal ne mischung aus 2 und 3 gemacht hoffe das passt

19.05.2006, 17:43

JochenX

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ja, klar, wie gesagt Fall 3 mit b<0 bedient sich einfach bei Fall 2

Das einzig neue Problem ist die Wurzel aus i, die du noch berechnen solltest, um später auf eine Form a+ib zu kommen.
Das andere (der negative Radikand) ist ein alter Hut und bringt uns nicht aus der Fassung.

Ich gebe dir EINE Wurzel aus i mal an: $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

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