Partialbruchzerlegung

19.08.2008, 10:29

Felix

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Partialbruchzerlegung

Geht um ein eigentlich eher kleines Problem :

Wenn ich die Gleichung x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2) habe, würde es normalerweise ja mit Koeffizientenvergleich weitergehen ( vorher noch umformen), allerdings kann man auch einfach einmal x = 2 und einmal x = 3 einsetzten und man erhält A und B.

Meine Frage : Warum geht das? Komm einfach nicht dahinter Ups

Ups

lg und schonmal vielen Dank für die Hilfe Big Laugh

Big Laugh

Edit:

Wenn ich schon mal dabeibin Big Laugh

Big Laugh

:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x²}~dx = \int_{}^{}~\frac{0,5}{1+x}+\frac{0,5}{1-x}~dx = \frac{1}{2} \cdot (ln/1 + x) - ln(1 - x)) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig gerechnet ???

19.08.2008, 10:54

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Felix
Wenn ich die Gleichung x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2) habe, würde es normalerweise ja mit Koeffizientenvergleich weitergehen ( vorher noch umformen), allerdings kann man auch einfach einmal x = 2 und einmal x = 3 einsetzten und man erhält A und B.

Meine Frage : Warum geht das? Komm einfach nicht dahinter Ups

Ups

Wie man leicht sieht, stehen links und rechts Geradengleichungen. Und 2 Geraden sind identisch, wenn sie in 2 Punkten übereinstimmen. smile

smile

Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x²}~dx = \int_{}^{}~\frac{0,5}{1+x}+\frac{0,5}{1-x}~dx = \frac{1}{2} \cdot (ln/1 + x) - ln(1 - x)) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig gerechnet ???

Total falsch. Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \neq \frac{0,5}{1+x}+\frac{0,5}{1-x} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.08.2008, 11:20

Felix

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Zitat:

Total falsch. Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \neq \frac{0,5}{1+x}+\frac{0,5}{1-x} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Mein Fehler Angabe sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - x^2} = \frac{0,5}{1+x}+\frac{0,5}{1-x} \end{eqnarray*}$ sein unglücklich

unglücklich

.

Zitat:

Wie man leicht sieht, stehen links und rechts Geradengleichungen. Und 2 Geraden sind identisch, wenn sie in 2 Punkten übereinstimmen. smile

Ich mein nicht den Koeffzientenvergleich sondern das einsetzten der 2 Nullstellen des Nenners wobei man einmal A und einmal B erhält ...

lg

19.08.2008, 11:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Felix
Ich mein nicht den Koeffzientenvergleich sondern das einsetzten der 2 Nullstellen des Nenners wobei man einmal A und einmal B erhält ...

Ich meine auch das Einsetzen der Nullstellen. Also wir haben:
x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)
Wenn man da für x 2 beliebige, aber verschiedene Werte einsetzt, dann bekommt man 2 Gleichungen in den Variablen A und B. Praktischerweise nimmt man dafür natürlich die Nullstellen, weil sich dadurch die beiden Gleichungen rapide vereinfachen. Man könnte aber auch andere x-Werte nehmen, z.B. x=0 und x=1.

Das mit dem Integral stimmt dann. Ich würde aber das Argument im ln in Betragsstriche setzen.

19.08.2008, 12:58

Felix

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Danke für die Hilfe Freude

Freude

20.08.2008, 18:17

Felix

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Ein weiteres Beispiel macht mir Probleme :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{3x² - 8}{x³ - 4}~dx \end{eqnarray*}$

Mein Problem liegt bei der Partialbruchzerlegung :

3x² - 8 = A(x + 4^1/3)² + B(x + 4^1/3) + C

Wie komm ich jetzt weiter ???

lg

Edit :

Sehe gerade, dass es sich um einen Angabefehler handelt ...

Nur rein aus interesse, wäre das obige Beispiel mit Partialbruchzerlegung zu lösen ?

lg

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20.08.2008, 19:35

Nubler

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die potenzen von x jeweils ausklammern und dann koeffizientenvergleich, weil das für alle x gelten muss?

21.08.2008, 08:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Felix
Mein Problem liegt bei der Partialbruchzerlegung :

3x² - 8 = A(x + 4^1/3)² + B(x + 4^1/3) + C

Wie komm ich jetzt weiter ???

Das Problem liegt in dem Ansatz für deine Partialbruchzerlegung. Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2 - 8}{x^3 - 4} = \frac{A}{x - \sqrt[3]{4}} + \frac{Bx + C}{x^2 + \sqrt[3]{4}x + \sqrt[3]{4^2}} \end{eqnarray*}$

21.08.2008, 16:52

Felix

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Ups da hab ich die Nullstellen wohl gründlich falsch berechnet Big Laugh

Big Laugh

Nagut Partialbruchzerlegung mit komplexen Nullstellen werd ich mir wahrscheinlich erst später anschauen ...

Trotzdem Danke für deine Hilfe Freude

Freude

lg

21.08.2008, 19:02

Felix

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{(x² + x)ln²x}{x³ + x²}~dx \end{eqnarray*}$

Zuerst würd ich mal kürzen. Aber wie mach ich dann weiter, was übersehe ich ???

lg

21.08.2008, 19:19

AD

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Irgendwie hast du's nicht so mit Substitution, was - ich denke da so an den anderen Thread heute. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Führe doch erstmal das Kürzen durch, die passende Substitution ist dann geradezu offensichtlich.

21.08.2008, 19:44

Felix

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Naja heut ist irgendwie nicht mein Tag ... unglücklich

unglücklich

Danke trotzdem smile

smile

21.08.2008, 20:37

AD

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Trotzdem gern geschehen.

22.08.2008, 11:33

eicon11

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Hallo, man Substituiert dann mit $\begin{eqnarray*} x = e^t \end{eqnarray*}$

und bekommt dann

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{t^2}{e^t} e^t~dt = \frac{1}{3} t^3 \Rightarrow \frac{1}{3} ln^3 (x) \end{eqnarray*}$

Ist dass richtig ?

22.08.2008, 11:47

klarsoweit

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Freude

Wenn du dein Ergebnis ableitest, kannst du prüfen, ob du damit richtig liegst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.08.2008, 11:52

Felix

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Ja ist richtig Freude

Freude

alternativ auch so möglich :

Man setzt ln |x| = z

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{}^{}~z²~dx = [latex]\frac{z³}{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{ln³\mid x \mid}{3} \end{eqnarray*}$ [/latex]

lg

24.08.2008, 15:23

Felix

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Neues Beispiel - neues Problem unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{4}~\frac{5x² + 3x -1}{x²} ~dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz über Partialbruchzerlegung funktioniert nicht :

a) Polynomdivision :

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{4}~5 + \frac{3x - 1}{x²} ~dx \end{eqnarray*}$

b) Partialbruchzerlegung :

3x - 1 = x(A + B)

Diese Gleichung lässt sich aber offensichtlich nicht erfüllen - da sie ja für alle x gelten muss unglücklich

unglücklich

Könnt ihr mir helfen ?

lg

24.08.2008, 17:14

Q-fLaDeN@Gast

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Machs dir nicht zu schwer:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{4}~\frac{5x² + 3x -1}{x²}~dx = \int_{2}^{4}~\frac{5x²}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{1}{x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2008, 17:29

Felix

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Hammer

Danke

Freude

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