Differenzierbarkeit - Stetigkeit?

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HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Hallo,
sitze jetzt mal wieder seit ein paar Tagen an so einigen Aufgaben und bin dabei bei zweien hängengeblieben. Nummer1:
Sei



Komme auf keinen grünen Zweig hier. Da die Funktion ja mit jedem "Schritt" zwischen x^2 und 0 hin- und herwechselt, dürfte sie ja nicht einmal stetig sein (,außer vielleicht in 0??). Demnach könnte dann doch auch kein differenzierbarer Punkt gefunden werden, oder?!

Die nächste Aufgabe bereitet mir auch ziemliches Kopfzerbrechen:

.




Habe hier zunächst versucht zu zeigen, dass die Ableitung von g(x) > 0 ist auf dem angegebenen Intervall. Sei also g monoton wachsend. Dann gilt:




So weit, so gut.... aber wie geht's dann weiter? Kann ich durch diese Aussage zu der Feststellung kommen, das f'(x) monoton wächst (,dann wär's ja bewiesen...)?? Habe ich vielleicht einen falschen Ansatz?

Bin für jede Hilfe dankbar!

Gruß
Jens
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Zitat:
Original von HobbyStudent
Da die Funktion ja mit jedem "Schritt" zwischen x^2 und 0 hin- und herwechselt, dürfte sie ja nicht einmal stetig sein. Demnach könnte dann doch auch kein differenzierbarer Punkt gefunden werden, oder?!

Wenn du noch begründest, warum die Funktion in keinem Punkt stetig ist, bist du fertig. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Zitat:
Original von HobbyStudent
Da die Funktion ja mit jedem "Schritt" zwischen x^2 und 0 hin- und herwechselt, dürfte sie ja nicht einmal stetig sein (,außer vielleicht in 0??).

Die Stelle x=0 bedarf vermutlich einer gesonderten Untersuchung.

zu Aufgabe 2:
Nutze den Mittelwertsatz. Damit ist f(x) - f(0) = ...
Löse nach f(x) auf und setze das in f'(x)*x - f(x) ein.
HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von HobbyStudent
Da die Funktion ja mit jedem "Schritt" zwischen x^2 und 0 hin- und herwechselt, dürfte sie ja nicht einmal stetig sein (,außer vielleicht in 0??).

Die Stelle x=0 bedarf vermutlich einer gesonderten Untersuchung.


zu Aufgabe 2:
Nutze den Mittelwertsatz. Damit ist f(x) - f(0) = ...
Löse nach f(x) auf und setze das in f'(x)*x - f(x) ein.


Tut mir leid, wenn ich im Moment so begriffsstutzig bin Hammer , aber könntest Du das evtl. etwas weiter ausführen? Sitze die letzten Tage jede Nacht bis ~2.30 Uhr vor Mathe und techn. Info. und hab so langsam das Gefühl, gar nix mehr zu raffen... unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
zu Aufgabe 1:
Zeige deine Vermutung, daß die Funktion für x ungleich Null nicht stetig ist. Für x=0 untersuche den Differenzenquotienten

zu Aufgabe 2:
Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein und

Und wie gesagt: löse das nach f(x) auf und setze in f'(x)*x - f(x) ein.
HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Zitat:
Original von klarsoweit
zu Aufgabe 1:
Zeige deine Vermutung, daß die Funktion für x ungleich Null nicht stetig ist. Für x=0 untersuche den Differenzenquotienten












.... oh, hab gerade gesehen, dass das jetzt nur für gilt geschockt .
Kann ich das trotzdem in dieser Art mit einer Fallunterscheidung machen? Also einmal obiges für a>0 und eine entsprechende Abwandung für a<0? Oder darf ich dem generell keine Beschränkungen wie auferlegen?


Zitat:

zu Aufgabe 2:
Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein und

Und wie gesagt: löse das nach f(x) auf und setze in f'(x)*x - f(x) ein.


OK, danke, kommt ne wahre Aussage raus.


Gruß

Jens
 
 
HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Zitat:
Original von klarsoweit
zu Aufgabe 1:
Für x=0 untersuche den Differenzenquotienten


So in etwa?

Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Zitat:

So in etwa?



Du solltest schon eine Fallunterscheidung einbauen. Ansonsten muss es am Schluss heißen.

Grüße Abakus smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Ich weiß nicht, ob ich den Beweis für die Unstetigkeit gelten lassen würde. Wobei der prinzipielle Beweisgedanke richtig ist. Also ich würde es so formulieren:

Sei a ungleich Null und irrational. Wäre f in a stetig, dann gibt es zu epsilon = a²/4 ein delta > 0 mit |f(x) - f(a)| < epsilon für alle x mit |x - a| < delta.
Insbesondere gibt es ein rationales x0 mit |x0 - a| < delta. Zusätzlich läßt sich x0 so wählen, daß auch |x0 - a | < |a/2| ist. Dann ist jedoch:
|f(x0) - f(a)| = x0² > a²/4 = epsilon und damit Widerspruch zur Stetigkeit.

Analog zeigt man die Unstetigkeit für rationales a.

Bei der Differenzierbarkeit in x=0 untersuche den Betrag des Differenzenquotienten:


Wenn der Betrag des Differenzenquotienten gegen Null konvergiert, dann auch der Differenzenquotient ohne Betrag. Fertig.
HobbyStudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Zitat:
Original von klarsoweit
Ich weiß nicht, ob ich den Beweis für die Unstetigkeit gelten lassen würde.


Warum nicht? Was genau ist verkehrt?
Dabei war ich schon so stolz auf mich.... traurig

Hab den ganzen Mist schon ausführlich in LaTex gesetzt. Könnte man "meinen" Beweis insofern verbessern, dass er gültig ist? Dann müsste ich nicht gleich alles ändern.
Habe bereits die Stelle, an der ich vorausgesetzt habe, umgeändert in
. Somit sollte zumindest der Gültigkeitsbereich auf ganz erweitert sein...

Bis hierhin aber auf jeden Fall schon mal danke für alle Antworten Freude

Gruß
Jens
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit - Stetigkeit?
Ich schau es mir später mal an. Habe aber übers Wochenende keine Zeit.
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