Trapez: Sinus- u. Kosinussatz

20.08.2008, 09:22

eierkopf1

Trapez: Sinus- u. Kosinussatz

Hallo!

Ich habe wieder ein Beispiel mit Kosinus- und Sinussatz, bei dem ich nicht weiter komme bzw. wo mir der Ansatz fehlt:

Trapez:
$\begin{eqnarray*} a=52mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=14mm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 72,3° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma = 115,2° \end{eqnarray*}$

Gefragt: Umfang des Trapezs und der Winkel zwischen der Diagonalen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und der Seite $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Mein Lösungsansatz:

Ich brauche für den Umfang alle Seiten und die Diagonale $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ . Ich kann auch die restlichen zwei Winkel ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \delta = 107,7° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta=64,8° \end{eqnarray*}$

Nur "sehe" ich wieder kein Dreieck, bei dem ich etwas brauchbares berechnen könnte.

Weiß einer einen Ansatz?

Danke schon mal für die Mühe.

mfg

20.08.2008, 09:58

Leopold

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Zeichne in der Planfigur eine Parallele zu $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Diese treffe die Gerade $\begin{eqnarray*} CD \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Jetzt betrachte das Dreieck $\begin{eqnarray*} BEC \end{eqnarray*}$ . Alle Winkel und eine Seite dieses Dreiecks können elementar bestimmt werden. Die beiden anderen Seiten sind die fehlenden Seiten des Trapezes. Sinussatz!

20.08.2008, 10:11

m@he

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Hallo,

mach Dir eine Skizze des Trapezes (alpha und beta sind spitze Winkel!) und zeichne die Lote der Punkte C und D auf die Seite a. Dann siehst Du:

52 = |AD|*cos(alpha) + 14 + |BC|*cos(beta)

und

h = |AD|*sin(alpha) = |BC|*sin(beta) ; h ist die Höhe des Trapezes

-> |AD| = h/sin(alpha) und |BC| = h/sin(beta)

Das in die erste Gleichung eingesetzt:

52 = h/sin(alpha)*cos(alpha) + 14 + h/sin(beta)*cos(beta)

38 = h*cot(alpha) + h*cot(beta)

38 = h*(cot(alpha) + cot(beta))

h = 38/(cot(alpha) + cot(beta))

Daraus ergeben sich dann

|AD| = 38/(cot(alpha) + cot(beta)) * 1/sin(alpha)

und

|BC| = 38/(cot(alpha) + cot(beta)) * 1/sin(beta)

PS: Parallelarbeit, aber da anderer Weg, lasse ich es dabei.

20.08.2008, 10:38

eierkopf1

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Zitat:

Original von Leopold
Zeichne in der Planfigur eine Parallele zu $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Diese treffe die Gerade $\begin{eqnarray*} CD \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Jetzt betrachte das Dreieck $\begin{eqnarray*} BEC \end{eqnarray*}$ . Alle Winkel und eine Seite dieses Dreiecks können elementar bestimmt werden. Die beiden anderen Seiten sind die fehlenden Seiten des Trapezes. Sinussatz!

Danke für die Antwort!

Dh:

$\begin{eqnarray*} CE = a -c \end{eqnarray*}$

Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} EB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CE \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} CB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CE \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} EB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CB \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 180- \alpha -\beta \end{eqnarray*}$

Ich komme dann auf
$\begin{eqnarray*} d=50,51mm \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b=53,18mm \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis jetzt?

Der Rest ist dann kein Problem, nur das "Parallelogramm" war schwer zu sehen für mich.

mfg

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