kleinster Abstand zweier Linien

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20.05.2004, 21:18	aaattt	Auf diesen Beitrag antworten »
kleinster Abstand zweier Linien Hallo, könnte mir jemand bitte helfen und sagen, wie der kleinste Abstand zwischen 2 Linien im Raum bestimmt wird? Ich schreibe extra "Linien" und nicht "Geraden", weil diese zwei Linien eben endlich sind. Die Formel für den kleinsten Abstand zwischen 2 Geraden ist ja bekannt, aber wenn ich den kleinsten Abstand innerhalb bestimmter Bereiche der Geraden berechnen möchte, weiß ich nicht, wie. Natürlich kann man das numerisch machen, in dem man die Linien in eine Vielzahl von Punkten und die Abstände jedes Punktes der einen Linie mit jedem Punkt der anderen berechnen und daraus den minimalen bestimmen. Aber bei einer großen Anzahl von Geraden und einer wegen hoher erforderlichen Genauigkeit großen Punktezahl kann der Rechenvorgang schon ziemlich lange dauern, was ich vermeiden möchte. Danke im Voraus und Gruß
20.05.2004, 21:37	aaattt	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder allgemeine Aufgabe: Suche den kleinsten Abstand der Mantelflächen zweier windschiefer Zylinder endlicher Längen. Die Gleichungen der beiden Zylinder und ihre Längen (also mit Anfangs und Endposition) sind natürlich bekannt.
20.05.2004, 21:54	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast also zwei Strecken s und t im Raum, mit den Endpunkten A,B und C,D. Die Geraden durch diese Punkte nenne ich g und h. Fangen wir mal die Ideenfindung damit an, den Abstand des Punktes A von der Strecke t zu bestimmen. Man könnte dazu den Lotfußpunkt von A auf die Gerade h bestimmen und herausfinden, ob er zwischen C und D, oder auf welcher Seite von C bzw. D er sich befindet. Je nachdem welcher der drei Fälle eintritt, ist d(A,t) gleich d(A,C), d(A,h) oder d(A,D). Vielleicht kann man mit einer ähnlichen Idee erstmal die Fußpunkte der Verbindungsstrecke zwischen g und h bestimmen und schauen, auf welcher Seite von A,B und C,D sie sind (drin, links, rechts). In jedem dieser neun Fälle müsste einer der Abstände d(A/B/g, C/D/h) der richtige sein.
21.05.2004, 14:56	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Machst du gerade Analysis oder Analytische Geometrie oder ist dir das egal? Johko
21.05.2004, 21:59	aaattt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi SirJective, vielen Dank für die Idee. Aber ich stehe gerade auf dem Schlauch bei der aufgabe, wie bestimmt man den Fusspunkt? Ist bei mir leider schon lange her ... :-)
21.05.2004, 22:00	aaattt	Auf diesen Beitrag antworten »
@johko Ist mir egal.
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21.05.2004, 22:39	aaattt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, habe izwischen selbst die Lösung gefunden. :-) Danke trotzdem!
21.05.2004, 23:12	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du die Lösung posten oder eine Lösungsskizze, wie du es jetzt gemacht hast? Mich würde das interessieren.
22.05.2004, 08:29	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Rein intuitiv würde ich die Geraden,auf denen die beiden Strecken liegen, ermitteln und zum Schnitt bringen . Dann wäre für mich der geringste Abstand der zwischen den beiden Endpunkten, die am nächsten an dem Schnittpunkt liegen. Jede weitere Konstellation käme wegen der Dreiecksungleichung und/oder der Streckung nicht mehr in Frage. denkt sich Johko
22.05.2004, 10:34	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Verfahren funktioniert im Allgemeinen noch nicht: Nimm die Strecke von A(0,0,0) nach B(5,0,0) und die Strecke von C(3,2,1) nach D(5,4,1). Die Lotfusspunkte der Verbindungsstrecke zwischen den Geraden sind E(1,0,0) nach F(1,0,1). E liegt zwischen A und B, F liegt auf der C-Seite ausserhalb. Welchen Abstand nimmt man dann? Den Abstand von C nach E oder den kürzeren Abstand von C nach G(3,0,0)? Ah, in diesem Fall ist der minimale Abstand der Abstand von C zur Gerade AB und nicht der Abstand von C zum Fusspunkt E der Verbindungsstrecke. Wäh, ist das kompliziert...
22.05.2004, 12:46	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
:P :P Ich hatte "im Raum" übersehen.! :P :P Na dann - auf ein Neudenk 8) johko
22.05.2004, 12:50	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Und selbst in der Ebene funktioniert es nicht. Ersetze die dritte Komponente aller Punkte in Irrlichts Beispiel durch 0, dann bist du in der Ebene. Dann ist E = F der Schnittpunkt, und der Abstand ist der von C zur Geraden AB. Wenn du aber C weiter zu D verschiebst, dann ist irgendwann der Lotfußpunkt von C auf die Gerade AB hinter B, und er Abstand ist der von C zu B. Neudenk... ich glaube immer noch, dass der Abstand einer der neun von mir angegebenen ist, die Frage ist nur, wie man rausfindet, welcher es sein muss.
22.05.2004, 13:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte man es nicht mit Differentialrechnung zweier Veränderlicher versuchen? (So etwas Ähnliches hatten wir neulich schon einmal. ) Wenn die Strecken mit s bzw. t parametrisiert werden, so ist das Minimum der Funktion f(s,t) = [Abstand(P,Q)]² (P,Q auf je einer der Strecken) in Abhängigkeit von s,t zu bestimmen. Der Definitionsbereich von f ist ein Rechteck in der st-Ebene. Entweder verschwindet der Gradient in einem Punkt des Rechtecks oder das Minimum wird auf dem Rand angenommen.
22.05.2004, 13:35	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Richtung hatte ich ursprünglich mit meinem Hinweis auf Analysis angedacht. Zuvor musste allerdings der Zweck der Frage abgeklärt werden. Am Morgen danach hatte ich eine Dimension verdrängt - und alles war plötzlich so einfach...
23.05.2004, 12:12	aaattt	Auf diesen Beitrag antworten »
@Irrlicht: Also, Ausgangpunkt war der der Lösungsweg von SirJective. Dann fragte ich danach, wie die Fusspunkte zu ermitteln seien. Ich gehe davon aus, genau DAS interessiert dich jetzt: 1) Fusspunte der kürzesten Verbindungslinine zweier Linien: Gerade 1(2) hat Richtungsvektor V1(2) und geht durch Punkt P1(2). A bzw. B sind die Fusspunkte auf Gerade 1 bzw. 2. Dann gilt: für Gerade 1: OA = OP1 + Lambda1V1 (O ist der Nullpunkt) für Gerade 1: OB = OP2* + Lambda2*V2 (O ist der Nullpunkt) Bedingung für kürzesten Abstand: AB ist senkrecht auf Gerade 1 und Gerade 2. Also: AB.V1 = 0 (1) AB.V2 = 0 (2) mit AB = OB - OA. Durch Einsetzen der anderen Gleichungen in (1) und (2) kriegst du dann Lambda1 und Lambda2 für die Fusspunkte A und B. 2) Fusspunkt der kürzesten Linie von einem Punkt zu einer Geraden: Vorgehensweise ähnlich.

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