Ungleichung

20.08.2008, 13:01

eierkopf1

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Ungleichung

Hallo!

Ich habe folgendes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (G=Q) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x(6-x)-(3x+1)^{2}<16x-11-(5x-2)(2x+3) \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

Ich bringe alles auf eine Seite
$\begin{eqnarray*} 3x(6-x)-(3x+1)^{2} - (16x-11-(5x-2)(2x+3))<0 \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} x^{2} +19x+6 <0 \end{eqnarray*}$

Lösen der zugehörigen Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x_1=-0,321 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -18,7 \end{eqnarray*}$

Umforumung:
$\begin{eqnarray*} (x+0,321)(x+18,7) < 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es zwei Fälle:
1. Fall
$\begin{eqnarray*} (x +0,321>0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+18,7>0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x >-0,321) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x>-18,7) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_1=\{x \in \mathbb Q \mid x > -\frac{321}{1000} \} \end{eqnarray*}$

Ist der 1. Fall richtig? Oder darf man oben nicht runden und somit ist es kein Element von der Menge der $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ?

Danke schon mal für die Hilfe

mfg

20.08.2008, 13:06

klarsoweit

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von eierkopf1
Zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} x^{2} +19x+6 <0 \end{eqnarray*}$

Kannst du mal vorrechnen, wie du dahin kommst?

20.08.2008, 13:28

eierkopf1

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} x^{2} +19x+6 <0 \end{eqnarray*}$

Kannst du mal vorrechnen, wie du dahin kommst?

Danke für die Antwort!

Ich habe mich bei irgendeiner Klammer verrechnet. Ich komme jetzt auf:

$\begin{eqnarray*} -2x^{2} + 7x+4<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-8 \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} L=\{ x \in \mathbb Q \mid -1<x<8 \} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Wie wäre es, wenn ich, wie im vorigen Post, auf keine ganzzahlige Lösung der dazugehörigen quadratischen Lösung komme?

mfg

20.08.2008, 13:39

klarsoweit

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-8 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du jetzt auf diese Werte? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von eierkopf1
Dann komme ich auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} L=\{ x \in \mathbb Q \mid -1<x<8 \} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Du kannst ja mal diese Lösung für x=0 testen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.08.2008, 13:45

eierkopf1

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-8 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du jetzt auf diese Werte? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von eierkopf1
Dann komme ich auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} L=\{ x \in \mathbb Q \mid -1<x<8 \} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Du kannst ja mal diese Lösung für x=0 testen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gute Frage Big Laugh

Big Laugh

Irgendwo falsch abgelesen wahrscheinlich:

$\begin{eqnarray*} x_1= -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 4 \end{eqnarray*}$

Passt es jetzt?

Was wäre, wenn für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl herauskommen würde?

mfg

20.08.2008, 13:56

klarsoweit

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von eierkopf1
Passt es jetzt?

Ja. Und jetzt überlegen, wie die Lösungsmenge aussieht.

Zitat:

Original von eierkopf1
Was wäre, wenn für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl herauskommen würde?

Du meinst vermutlich "irrationale Zahl". Auch 4 ist eine reelle Zahl. smile

smile

Bei der Angabe der Lösungsmenge gibt es prinzipiell keinen Unterschied.

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26.08.2008, 11:00

eierkopf1

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Passt es jetzt?

Ja. Und jetzt überlegen, wie die Lösungsmenge aussieht.

$\begin{eqnarray*} L= \{x \in \mathbb Q \mid -\frac{1}{2} < x < 4 \} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Was wäre, wenn für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl herauskommen würde?

Du meinst vermutlich "irrationale Zahl". Auch 4 ist eine reelle Zahl. smile

smile

Bei der Angabe der Lösungsmenge gibt es prinzipiell keinen Unterschied.

Dh, die Lösungsmenge wird gleich angegeben, aber zB $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \ \end{eqnarray*}$ darf keine irrationale Zahl (zB $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) annehmen, oder?

mfg

26.08.2008, 11:19

klarsoweit

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} L= \{x \in \mathbb Q \mid -\frac{1}{2} < x < 4 \} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Nein. Ich hatte schon mal den Tipp gegeben, die "Lösung" x=0 mal zu testen. smile

smile

Zitat:

Original von eierkopf1
Dh, die Lösungsmenge wird gleich angegeben, aber zB $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \ \end{eqnarray*}$ darf keine irrationale Zahl (zB $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) annehmen, oder?

Ja.

26.08.2008, 11:30

eierkopf1

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} L= \{x \in \mathbb Q \mid -\frac{1}{2} < x < 4 \} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Nein. Ich hatte schon mal den Tipp gegeben, die "Lösung" x=0 mal zu testen. smile

smile

Wenn ich mit 0 teste, dann kommt

$\begin{eqnarray*} -1<-5 \end{eqnarray*}$

Und das ist eine unwahre Aussage. Heißt das, dass es keine Lösungsmenge gibt?

mfg

26.08.2008, 11:45

klarsoweit

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RE: Ungleichung
Das heißt nur, daß du die Lösungsmenge falsch angegeben hast bzw. auf das falsche Intervall gehst.

26.08.2008, 12:48

eierkopf1

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Das heißt nur, daß du die Lösungsmenge falsch angegeben hast bzw. auf das falsche Intervall gehst.

Durch probieren bin auch auf $\begin{eqnarray*} x < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen.

Doch wie schreibe ich das mathematisch korrekt an, (Ich meine sowie mit den 2 Fällen) ?

mfg

26.08.2008, 12:54

klarsoweit

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RE: Ungleichung
Da muß man nicht probieren, sondern nur $\begin{eqnarray*} -2x^{2} + 7x+4<0 \end{eqnarray*}$ korrekt lösen.

Die Lösung kannst du so schreiben:

$\begin{eqnarray*} L= \{x \in \mathbb Q \mid x < -\frac{1}{2} \text{ oder } x > 4 \} \end{eqnarray*}$

Für das "oder" kannst du auch das mathematische Oder-Zeichen nehmen. Leider fehlt mit gerade das passende Latexzeichen.

26.08.2008, 13:28

eierkopf1

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Da muß man nicht probieren, sondern nur $\begin{eqnarray*} -2x^{2} + 7x+4<0 \end{eqnarray*}$ korrekt lösen.

Die Lösung kannst du so schreiben:

$\begin{eqnarray*} L= \{x \in \mathbb Q \mid x < -\frac{1}{2} \text{ oder } x > 4 \} \end{eqnarray*}$

Für das "oder" kannst du auch das mathematische Oder-Zeichen nehmen. Leider fehlt mit gerade das passende Latexzeichen.

Kann ich das so anschreiben:

1. Fall:
$\begin{eqnarray*} (x+ \frac{1}{2} < 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-4<0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x<-\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x<4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

2. Fall:
$\begin{eqnarray*} (x+\frac{1}{2} > 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-4>0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x> -\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x>4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$

Hab ich das richtig angeschrieben?

$\begin{eqnarray*} L= \{x \in \mathbb Q \mid x<-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x>4 \} \end{eqnarray*}$

Löse ich solche Ungleichungstypen immer so: Zuerst die "dazupassende" quadratische Gleichung lösen und dann die 2 Fälle: Zuerst mit dem "Kleinerzeichen" und dann mit dem "Größerzeichen". Stimmt das?

mfg

26.08.2008, 14:26

klarsoweit

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RE: Ungleichung
Ist formal so ok. Du brauchst aber nicht unbedingt die dazugehörige quadratische Gleichung lösen. Das ist allenfalls dazu hilfreich, um
$\begin{eqnarray*} x^2 - 3,5x - 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (x + 0,5) \cdot (x-4) \end{eqnarray*}$ umzuformen. Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (x + 0,5) \cdot (x-4) > 0 \end{eqnarray*}$ löst man dann so, wie du es geschrieben hast.

27.08.2008, 09:26

TheWitch

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Beim nochmaligen Nachlesen seiner Postings bin ich mir nicht ganz sicher, dass eierkopf1 den Formalismus, den er anwenden will, wirklich verstanden hat.

Die Ungleichung, die er lösen will, ist $\begin{eqnarray*} -2x^2+7x+4<0 \end{eqnarray*}$ . Dass er dafür in der Ungleichung (und nicht etwa beim Lösen der entsprechenden quadratischen Gleichung) zunächst das Minuszeichen vor dem quadratischen Glied beseitigen sollte und dass sich dadurch das Ungleichungszeichen umdreht - in diesem Falle zu einem Größerzeichen wird -, ist immerhin wesentlich für das weitere Vorgehen. Die Aussage

Zitat:

Original von eierkopf1
Löse ich solche Ungleichungstypen immer so: Zuerst die "dazupassende" quadratische Gleichung lösen und dann die 2 Fälle: Zuerst mit dem "Kleinerzeichen" und dann mit dem "Größerzeichen". Stimmt das?

ist nicht zu beurteilen, solange nicht klar ist, was er mit "solche Ungleichungstypen" meint.

27.08.2008, 17:13

mYthos

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RE: Ungleichung
Geometrisch auch recht nett: L: -> Alle x-Werte, für die der Graph der Parabel unterhalb der x-Achse liegt!

$\begin{eqnarray*} -2x^2+7x+4<0 \end{eqnarray*}$

mY+

27.08.2008, 17:59

TheWitch

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Nicht nur "recht nett" - ich halte das für ein deutlich effizienteres und vor allem für die meisten Schüler deutlich weniger fehleranfälliges Verfahren als das formallogische Vorgehen über das Produkt, zumal man die Parabel nicht einmal zu zeichnen braucht. Man muss nur wissen, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist und die Nullstellen kennen. Da der Strangeröffner sich aber nicht mehr gemeldet hat (und wohl mittlerweile mit anderen Dingen beschäftigt ist), hatte ich darauf verzichtet, ihm das nahezulegen.

27.08.2008, 20:41

eierkopf1

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RE: Ungleichung
Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen Gott

Gott

mfg

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