punktweise vs gleichmäßige Konvergenz

20.08.2008, 13:07

ineedhelp

punktweise vs gleichmäßige Konvergenz

Hallo,
was ist denn der genaue Unterschied zwischen punktweise und gleichmäßiger Konvergenz.

Im Skript steht:
Eine Funktion konvergiert punktweise, wenn für jedes x€D die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n(x))_{n\geq1} \end{eqnarray*}$

20.08.2008, 13:13

needhelp12345

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RE: punktweise vs gleichmäßige Konvergenz
Hallo,
was ist denn der genaue Unterschied zwischen punktweise und gleichmäßiger Konvergenz.

Im Skript steht:
Eine Funktion konvergiert punktweise, wenn für jedes x€D die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n(x))_{n\geq1} \end{eqnarray*}$ konvergiert. D.h. ein Grenzwert existiert.

Bei gleichmäßiger Konvergenz steht:
Eine Funktion konvergiert genau dann gleichmäßig, wenn $\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty }||f_n-f|| = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und dass halt gleichmäßige Konvergenz Begriffe differenzierbarkeit, Stetigkeit und Integrierbarkeit für die Grenzfunktion zulässt.

Aber den genauen Unterschied habe ich noch nicht verstanden.Also wie ich mir das vorzustellen habe.

20.08.2008, 13:17

tmo

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Punktweise Konvergenz ist einfach direkt auf die Konvergenz einer Folge zurückzuführen. D.h. zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in D_{f_n} \end{eqnarray*}$ und zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , gibt es ein N (dieses hängt im allgemeinen von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und x ab), sodass die Folgenglieder ab da weniger als Epsilon vom Grenzwert abweichen.

Bei gleichmäßiger Konvergenz gibt es noch die Forderung, dass dieses N nicht von x abhängen darf.

Dies kann man halt durch die Supremumsnorm ausdrücken. Denn da wird ja sowieso das x genommen, wo der Abstand zwischen Grenzfunktion und Funktionenfolge am größten ist.

20.08.2008, 13:38

ineedhelp

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ok dazu mal eine Beispielaufgabe:

zu a)
Defintionsbereich ist [0,1]. Aber wie genau muss ich jetzt die komische stückweise definierte Funktion betrachten? Muss ich für die punktweise konvergenz
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n \end{eqnarray*}$ = \infty oder
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$
betrachten?

Das mit der Supremumsnorm hab ich nicht genau verstanden.

20.08.2008, 13:43

tmo

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Zitat:

Original von ineedhelp
zu a)
Defintionsbereich ist [0,1]. Aber wie genau muss ich jetzt die komische stückweise definierte Funktion betrachten? Muss ich für die punktweise konvergenz
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n \end{eqnarray*}$ = \infty oder
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$
betrachten?

Überleg doch mal. Welcher der beiden Fälle der Fallunterscheidung trifft denn ein, wenn n beliebig groß wird?

Zitat:

Original von ineedhelp
Das mit der Supremumsnorm hab ich nicht genau verstanden.

Bei dieser Funktion kann man sich leicht klarmachen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|=n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Versuche da mal drauf zu kommen.

20.08.2008, 13:58

ineedhelp

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na gut, also ich würde sagen, wenn der n gegen unendlich strebt, dann wird der Bruch immer kleiner, somit würde ich den zweiten Fall hinzuziehen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Funktion punktweise konvergent.

Für die gleichmäßige Konvergenz würde ich spontan behaupten, dass du folgendes gemacht hast:

||f_n-f|| = ||n-0|| = n gemacht hast
warum aber nicht
||f_n-f|| = ||0-0|| = 0 gemacht hast

wegen der Supremumsnorm?
"Denn da wird ja sowieso das x genommen, wo der Abstand zwischen Grenzfunktion und Funktionenfolge am größten ist. "

Der Abstand von n zu 0 ist größer wie der Abstand von 0 zu 0?

20.08.2008, 14:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von ineedhelp
||f_n-f|| = ||n-0|| = n gemacht hast

Du hast noch einige Verständnisprobleme mit dem Normbegriff. Da f die Null-Funktion ist, muß es heißen: ||f_n-f|| = ||f_n|| = n
Wieso das so ist, solltest du dir selbst überlegen.

Zitat:

Original von ineedhelp
Der Abstand von n zu 0 ist größer wie der Abstand von 0 zu 0?

Nicht "wie", sondern "als". Bei einem Komparativ kommt das Wörtchen "als". Augenzwinkern

20.08.2008, 14:29

ineedhelp12345

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von ineedhelp
Der Abstand von n zu 0 ist größer wie der Abstand von 0 zu 0?

Nicht "wie", sondern "als". Bei einem Komparativ kommt das Wörtchen "als". Augenzwinkern

Ja, da hast du natürlich recht. Aber ist die Erklärung falsch (ich vermute mal, ja).

Wie berechnet sich denn die Norm einer Funktion?
Ich kenn das nur aus Vektoren, dass man da einfach den Betrag bildet.

$\begin{eqnarray*} |\vec{x}| = |\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{(x_1)²+(x_2)²+(x_3)²} \end{eqnarray*}$

Muss ich dann vielleicht hier auch analog das machen?

$\begin{eqnarray*} |f_n| = |\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} | = \sqrt{(f_1)²+(f_2)²} = \sqrt{(n)²+(0)²} = n \end{eqnarray*}$
Ok das ist bestimmt falsch, aber ich hab keine Ahnung.

20.08.2008, 14:34

tmo

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Es wird definiert $\begin{eqnarray*} \|f\| := \sup_{x \in D_f} |f(x)| \end{eqnarray*}$

20.08.2008, 14:36

Mazze

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Zitat:

Ok das ist bestimmt falsch, aber ich hab keine Ahnung.

Das kann man so unterschreiben, zumindest was Normen angeht. Eine Norm ist eine Abbildung die gewissen Eigenschaften genügt (dazu kannst Du Dich mal auf Wikipedia zum Thema Norm umsehen). Das hier

$\begin{eqnarray*} |\vec{x}| = |\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{(x_1)²+(x_2)²+(x_3)²} \end{eqnarray*}$

ist die sogenannte Euklidische Norm, oder p-Norm mit p = 2. Das hier

$\begin{eqnarray*} |f_n| = |\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} | = \sqrt{(f_1)²+(f_2)²} = \sqrt{(n)²+(0)²} = n \end{eqnarray*}$

ist quatsch. Wenn f eine Funktion auf [a,b] ist dann ist zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} || f ||_\infty := \sup_{x \in [a,b]}|f(x)| \end{eqnarray*}$

eine Norm, die sogenannte Supremumsnorm für Funktionen.

edit: Zu spät und Normen sind immer auf Vektorräumen definiert.

20.08.2008, 14:57

12345ineedhelp

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Zitat:

Original von tmo
Es wird definiert $\begin{eqnarray*} \|f\| := \sup_{x \in D_f} |f(x)| \end{eqnarray*}$

ich kann leider hiermit immer noch nicht soviel anfangen.
D_f ist für mich[0;1]. Bevor ich hier weiter phantasiekreationen zur Norm erstelle, kann mich jemand mal genau über diese Supremumsnorm aufklären?
Aus dieser formalen Definition von http://de.wikipedia.org/wiki/Supremumsnorm werde ich auch nicht schlau.

20.08.2008, 15:00

tmo

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Ich habe die formale Definition doch schon etwas spezialisiert. Weißt du denn was das Supremum ist?

20.08.2008, 15:07

ineedhelp

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wir hatten den Begriff supremum nur in Bezug auf Mengen. Damals hatte wir gesagt, das Supremum ist die kleinste obere Schranke eine Menge.

20.08.2008, 15:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von 12345ineedhelp
Bevor ich hier weiter phantasiekreationen zur Norm erstelle, kann mich jemand mal genau über diese Supremumsnorm aufklären?

Etwas schnoddrig gesprochen, ist die Supremumsnorm einer Funktion der betragsmäßig größte Wert der Funktion auf dem betrachteten Intervall.

Die formal exakte Definition hatte tmo ja schon angegeben.

20.08.2008, 15:10

tmo

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Zitat:

Original von ineedhelp
wir hatten den Begriff supremum nur in Bezug auf Mengen. Damals hatte wir gesagt, das Supremum ist die kleinste obere Schranke eine Menge.

Das ist ja schonmal was. Wenn wir nun zu deiner Funktion f die Menge $\begin{eqnarray*} M = \{|f(x)| ~ | x \in (0,1)\} \end{eqnarray*}$ betrachten ist $\begin{eqnarray*} \|f\|= \sup M \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f: (0,1) \mapsto \mathbb R, f(x) = 2x \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \|f\| = 2 \end{eqnarray*}$

20.08.2008, 15:13

ineedhelp

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ok wenn ich eine Funktion hab f(x) = 1/x und lasse ein Defintionsgebiet von [2,5] zu. dann ist die supremumsnorm der Funktion 0,5?

20.08.2008, 15:22

tmo

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Genau. Das waren jetzt ein paar einfache Beispiele. Jetzt kannst du dich ja mal an $\begin{eqnarray*} \|f_n\| \end{eqnarray*}$ trauen. n wird dabei einfach als irgendeine beliebige konstante natürliche Zahl gesehen.

20.08.2008, 15:35

1234ineedhelp

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$\begin{eqnarray*} || f_n ||_\infty := \sup_{x \in [0,1]}|f_n(x)| =n \end{eqnarray*}$
aber wie schreib ich das irgendwie schön auf?
Das 0 nicht supremum sein kann, ist ja klar, weil ja gilt 0<n.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in [0,1]}|f_n(x)| = \lim_{n \to \infty} n= \infty \end{eqnarray*}$

also nicht gleichmäßig konvergent ?

20.08.2008, 15:36

tmo

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Du musst das mit der Funktion begründen. Also warum ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (0,1)} |f_n(x)|=n \end{eqnarray*}$ ?

20.08.2008, 16:07

1234

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$\begin{eqnarray*} f_1(0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1000(0) = 1000 \end{eqnarray*}$
für x = 0 gilt immer der obere fall und dieser liefert die Funktion f_n = n .

oder wie begründet man das?

20.08.2008, 16:08

tmo

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0 ist doch gar nicht in der Defintionsmenge.

20.08.2008, 16:37

1234hassefolgen

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n gilt für x< 1/n bzw für n<1/x

wählt man für x = 0,5 dann gilt für n<2 die Funktion f_n(0,5) = n
für n->unendlich gilt dann bei x = 0,5: f_n(0,5) = 0

n>0 also ist n das supremum.

ach man ich kann mir hier nix gescheites zusammenreimen.
ich verzweifele langsam unglücklich

20.08.2008, 16:39

tmo

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Beachte doch, dass n zunächst konstant ist. Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auch konstant. Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ positiv und somit kann man immer ein x finden, sodass $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gilt.

Z.b. $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

20.08.2008, 16:44

1234ineedhelp

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Warum ist dann das Supremum n und nicht 1/n ?

20.08.2008, 16:45

tmo

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Es geht doch um das Supremum der Funktionswerte.

20.08.2008, 17:11

WebFritzi

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Nochmal kurz was zum Unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz. Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ mal eine Folge von auf [0,1] definierten Funktionen, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert. Dann ist $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ für jedes x aus [0,1] eine Nullfolge. Aber es kann ja nun passieren, dass wir zwei Werte x und y aus [0,1] haben (z.B. 0 und 1 Augenzwinkern

), so dass $\begin{eqnarray*} |f_{1000}(x)| \end{eqnarray*}$ schon sehr, sehr klein ist, aber $\begin{eqnarray*} |f_{1000}(y)| \end{eqnarray*}$ noch bei Werten im Millionenbereich rumdümpelt und erst viel später ganz klein wird. Anders ausgedrückt: es kann passieren, dass $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ viel schneller konvergiert als $\begin{eqnarray*} (f_n(y)). \end{eqnarray*}$ Und genau das wird bei der gleichmäßigen Konvergenz ausgeschlossen. Wäre unsere Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ nämlich gleichmäßig konvergent (gegen die Nullfunktion), dann gäbe es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N, \end{eqnarray*}$ so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\ge N \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)| < \varepsilon. \end{eqnarray*}$ So kann man die gleicchmäßige konvergenz nämlich auch definieren:

Seien $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f,f_1,f_2,\dots : M\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ Funktionen. Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ heißt gleichmäßig konvergent gegen f, falls es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\ge N \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon. \end{eqnarray*}$

Diese Definition ist gleichwertig zu der mit der Supremumsnorm.

20.08.2008, 21:46

12345ineedhelp

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@webFritzi
danke, dein text macht die sache schon etwas leichter verständlicher für nichtmathematiker smile

Ich hab hier grad wieder eine Aufgabe, ich hab leider ein anderes Ergebnis wie die Musterlösung. Kann da jemand mal drüberschauen:

$\begin{eqnarray*} f_n<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> 0,\infty)->\mathbb R : x -> max ( \frac{1}{x},\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
hmm im formeleditor seh eine richtige Anzeige vom Latexcode.

Ich hab dann f_n neu beschrieben: (falls das stimmt)

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases} \frac{1}{x} & \text{für }x<n \\ \frac{1}{n} & \text{für }x\geq n \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_n = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ also punktweise konvergent
jetzt zur gleichm. Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)-f(x)=\begin{cases} 0 & \text{für }x<n \\ \frac{1}{n}-\frac{1}{x} & \text{für }x\geq n \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup_{x \in (0,\infty)} |f_n -f| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{x} = - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
also nicht gleichm. konvergent. laut musterlösung ist diese aber gleichm. konvergent. wo ist mein Fehler?

20.08.2008, 21:48

12345ineedhelp

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hier noch der Latexcode, von dem ding was oben irgendwie net richtig angezeigt wird:

f_n unglücklich

0,\infty)->\mathbb R : x -> max ( \frac{1}{x},\frac{1}{n})

20.08.2008, 21:51

123456help

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$\begin{eqnarray*} f_n (0, \infty)->\mathbb R : x -> max ( \frac{1}{x},\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

20.08.2008, 21:52

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\| = \max \left( 0,\frac{1}{n}-\frac{1}{x}\right) < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Also folgt auch für den Grenzübergang:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \|f_n-f\| \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

20.08.2008, 21:54

ineedhelp

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aber was ist jetzt mit meiner supremumsnorm?

20.08.2008, 21:57

tmo

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Zitat:

Original von 12345ineedhelp
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup_{x \in (0,\infty)} |f_n -f| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{x} = - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Du hast hier x als konstant angesehen und n gegen unendlich laufen lassen. Da x aber größer als n sein muss, damit $\begin{eqnarray*} |f_n(x) -f(x)| = \frac{1}{n}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gilt, kannst du das so nicht machen.

20.08.2008, 22:02

ineedhelp

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das macht mein schwer aufgebautes bild wieder kaputt.

Dieses Kriterium für mit der Supremumsnorm, darf man das jetzt nur dann anwenden, wenn x konstant ist, also quasi nach oben und unten begrenzt ist?

und was du gemacht hast? ist das jetzt letztendlich eine Abschätzung? da die Folge 1/n konvergiert, ist sie eine konvergente majorante?
oder ist dieses 1/n eher als diese Epsilonumgebung anzusehen?

20.08.2008, 22:06

tmo

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Zitat:

Original von ineedhelp
Dieses Kriterium für mit der Supremumsnorm, darf man das jetzt nur dann anwenden, wenn x konstant ist, also quasi nach oben und unten begrenzt ist?

Man darf das immer verwenden, schließlich ist die gleichmäßige Konvergenz dadurch definiert.Aber man muss es halt richtig anwenden.
Ich habe es ja bei meinem Lösungsweg auch angewandt, nur habe ich den Grenzwert nicht mit den Grenzwertsätzen "ausgerechnet", sondern habe durch eine Abschätzung bewiesen, dass er 0 ist.

Zitat:

Original von ineedhelp
und was du gemacht hast? ist das jetzt letztendlich eine Abschätzung? da die Folge 1/n konvergiert, ist sie eine konvergente majorante?

Genau so siehts aus.

Es ist $\begin{eqnarray*} 0 \leq \|f_n-f\| < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Die Terme links und rechts konvergieren gegen 0, also der in der Mitte auch.

20.08.2008, 22:11

ineedhelp

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Zitat:

Original von tmo
Man darf das immer verwenden, schließlich ist die gleichmäßige Konvergenz dadurch definiert.Aber man muss es halt richtig anwenden.
Ich habe es ja bei meinem Lösungsweg auch angewandt, nur habe ich den Grenzwert nicht mit den Grenzwertsätzen "ausgerechnet", sondern habe durch eine Abschätzung bewiesen, dass er 0 ist.

kannst du mir vielleicht dann zeigen, wie er richtig auf diese aufgabe angewendet werden kann (quasi analog zum ersten beispiel) Du hast ja gesehen, bin bei dem Thema net so wirklich begabt, deswegen wollte ich mir ein "Lösungsschema" so bisschen einprägen.

20.08.2008, 22:16

tmo

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Das habe ich doch schon verwirrt

Aber ich merke gerade, dass ich noch einen formalen Fehler gemacht habe.

Es ist natürlich nicht $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\| = \max \left( 0,\frac{1}{n}-\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| = \max \left( 0,\frac{1}{n}-\frac{1}{x}\right) < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Und daraus folgt dann erst $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\| = \sup_{x \in (0, \infty)} |f_n(x)-f(x)|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Aber letztendlich sei dir gesagt, dass es kein einheitliches "Lösungsschema" gibt. Am Ende muss man bei jeder Aufgabe neu überlegen Augenzwinkern

20.08.2008, 22:19

thx

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ok dann vielen dank nochmal smile

20.08.2008, 22:41

ineedhelp

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du ich komm schon wieder auf kein richtiges Ergebnis. Kannst du mir vielleicht irgendwelche tipps geben?
$\begin{eqnarray*} g_n : (0,\infty) \Rightarrow \mathbb R : x \Rightarrow min(n, \frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} g_n = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
also punktweise konvergent.

$\begin{eqnarray*} |g_n(x) -g(x)| = min(n-\frac{1}{x}, 0) \end{eqnarray*}$
das minimum von den beiden Termen ist doch 0.
Oder hab ich jetzt doch das Supremum zu nehmen?

20.08.2008, 22:48

tmo

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Sei n beliebig aber konstant. Dann kann man ein $\begin{eqnarray*} x \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ so finden, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} > n+1 \end{eqnarray*}$ gilt. Dann gilt $\begin{eqnarray*} |g_n(x)-g(x)| = \frac{1}{x}-n > 1 \end{eqnarray*}$ .

Was folgt damit aber für $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (0,\infty)} |g_n(x)-g(x)| \end{eqnarray*}$ ?

edit:

Zitat:

Original von ineedhelp
$\begin{eqnarray*} |g_n(x) -g(x)| = min(n-\frac{1}{x}, 0) \end{eqnarray*}$

Das ist übrigens falsch. Denk mal drüber nach Augenzwinkern

20.08.2008, 23:03

ineedhelp

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daraus folgt, dass das supremum auch > 1 sein wird und daher ungleich 0 und das ganze divergiert.

Aber ich verstehe folgendes nicht:
1/x > n+1, dass hierraus resultiert 1/x-n>1 ist ok
aber warum ist das gleich
$\begin{eqnarray*} |g_n(x)-g(x)| \end{eqnarray*}$
bei mir ist $\begin{eqnarray*} |g_n(x)-g(x)| = |n-1/x|| \end{eqnarray*}$
aber ich seh grad, das hast du ja schon als falsch geoutet unglücklich

ich denke und denke, aber keine Ahnung warum das falsch sein soll. Bei der max aufgabe haben wirs ja auch so gemacht. Naja, du hast ja schon gesagt, es gibt kein "Schema F" für diese Aufgaben. geschockt

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