Würfelwahrscheinlichkeit unklar

20.08.2008, 16:56

hehe12

Würfelwahrscheinlichkeit unklar

Hallo erstmal smile

ich gehe gerade die übungsblätter durch und bin da auf etwas gestoßen was mir etwas suspekt erscheint.

die fragestellung:

Berechnen sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, beim n-maligen werfen eines regulären Würfels mehr als eine Sechs zu werfen unter der Bedingung, dass mindestens eine Sechs erscheint, n=3,4,5,.....

lösung:

$\begin{eqnarray*} |\Omega| = 6^n \end{eqnarray*}$

A = "öfters als einmal eine sechs würfeln"
B = "mindestens einmal eine sechs würfeln"
$\begin{eqnarray*} C = A^c \cap B \end{eqnarray*}$ "Genau einmal eine sechs würfeln"

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = 1-( P(A^c|B) )= 1-( P(A^c \cap B) / P(B) )= 1-( P(C) / 1-( P(B^c) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B^c = \end{eqnarray*}$ Menge aller Tupel mit augenzahl von 1-5
$\begin{eqnarray*} |B^c| = 5^n \end{eqnarray*}$

C = " sind vektoren bei dennen eine sechs drin ist, und sonst nur augenzahlen von 1 bis 5
$\begin{eqnarray*} |C| = n * 5^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac {6^n - 5^n - n * 5^{n-1}} {6^n - 5^n} \end{eqnarray*}$

ich verstehe die erklärung zu C nicht "sind vektoren..." da soll doch genau einmal eine sechs sein? und warum n * 5^(n-1)? ich hätte hier 6 * 5^n geschrieben...

20.08.2008, 18:21

Leopold

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"Vektor" ist hier vielleicht nicht der passende Begriff. $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ besteht aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupeln ("Vektoren"), deren "Koordinaten" die Zahlen Eins bis Sechs enthalten.

Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel, die zu $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gehören, enthalten genau eine Sechs. Aber wo steht die? Die könnte in der ersten Koordinate stehen. Dann hat man in der zweiten Koordinate 5 Möglichkeiten, in der dritten ebenso, in der vierten auch usw. Das sind insgesamt $\begin{eqnarray*} 5^{n-1} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Die Sechs könnte aber auch in der zweiten Koordinate stehen. Dann hat man in der ersten Koordinate 5 Möglichkeiten, in der dritten ebenso, in der vierten auch usw., also wieder insgesamt $\begin{eqnarray*} 5^{n-1} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Und das Spiel kannst du mit jeder Koordinate machen, in der die einzige Sechs stehen kann:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{5^{n-1} + 5^{n-1} + \ldots + 5^{n-1}}_{n \text{-mal}} = n \cdot 5^{n-1} \end{eqnarray*}$

Übrigens: Deine Klammersetzung ist willkürlich. Du setzt Klammern, wo sie überhaupt nicht erforderlich sind. An andern Stellen dagegen fehlen Klammern, so daß sich eine falsche Termstruktur ergibt.

20.08.2008, 18:57

hehe12

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Danke für die Antwort... habe mich sehr darüber gefreut Freude

1.

Also beschreibt $\begin{eqnarray*} n * 5^{n-1} \end{eqnarray*}$ die Möglichkeiten wo sich die eine 6 befindet, aber es ist doch so, dass wenn ich 3 mal werfe es $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten gibt und wenn nochmal z.b. 2 mal werfe $\begin{eqnarray*} 6^2 \end{eqnarray*}$ zusammen also $\begin{eqnarray*} 6^3 + 6^2 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten..

Wenn ich mir jetzt vorstelle das beim n-maligen würfeln genau eine 6 erscheinen soll dann würde ich jetzt $\begin{eqnarray*} 6 + 5^{n-1} \end{eqnarray*}$ hinschreiben... da n-1 mal ohne 6 und einmal mit 6...

Ich habe sicherlichlich einen Gedankenfehler aber irgendwie komme ich nicht drauf wie, wo, warum verwirrt

2.

Klammerfehler? ich lerne erst durch diesen posting latex smile

kann sein das ich eine klammer vergessen habe oder bewusst welche hingeschrieben habe..

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = 1 - ( P(A^C | B) ) \end{eqnarray*}$ sollte aber stimmen oder?

20.08.2008, 19:19

WebFritzi

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Ich habe es mir so erklärt: Es gibt n Möglichkeiten, die eine 6 zu verteilen. Und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass an der k-ten Stelle eine 6 ist und an den anderen Stellen nicht, ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}. \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} P(\text{''Es fällt genau eine 6''}) = \frac{n}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}. \end{eqnarray*}$

21.08.2008, 08:36

Leopold

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Zitat:

Original von hehe12
Also beschreibt $\begin{eqnarray*} n * 5^{n-1} \end{eqnarray*}$ die Möglichkeiten wo sich die eine 6 befindet

Nein, diese Zahl gibt die Anzahl aller $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel an, die genau eine Sechs enthalten. Tip: Mache dir das für kleine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , etwa $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ klar. Schreibe jeweils alle Möglichkeiten auf (ich weiß, es sind zu viele; mit "alle" meine ich, die Liste so weit anzufertigen, bis du das Prinzip durchschaut hast).

Zitat:

Original von hehe12
dass wenn ich 3 mal werfe es $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten gibt und wenn nochmal z.b. 2 mal werfe $\begin{eqnarray*} 6^2 \end{eqnarray*}$ zusammen also $\begin{eqnarray*} 6^3 + 6^2 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten..

Wieso addierst du? verwirrt

Zitat:

Original von hehe12
Wenn ich mir jetzt vorstelle das beim n-maligen würfeln genau eine 6 erscheinen soll dann würde ich jetzt $\begin{eqnarray*} 6 + 5^{n-1} \end{eqnarray*}$ hinschreiben... da n-1 mal ohne 6 und einmal mit 6...

Wieso addierst du? verwirrt

Zitat:

Original von hehe12
Ich habe sicherlichlich einen Gedankenfehler

Richtig erkannt.
Irgendwie hast du noch nicht verstanden, in welchen Fällen du addieren und in welchen du multiplizieren mußt. Es hilft, sich die Struktur an einem Baum klarzumachen.

Zitat:

Original von hehe12
Klammerfehler? ich lerne erst durch diesen posting latex smile

kann sein das ich eine klammer vergessen habe oder bewusst welche hingeschrieben habe..

Das Problem ist nicht LATEX, das Problem ist die falsche Mathematik.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = 1-( P(A^c|B) )= 1-( P(A^c \cap B) / P(B) )= \ldots \end{eqnarray*}$

Die äußeren Klammern sind überflüssig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ldots = 1-( P(C) / 1-( P(B^c) ) \end{eqnarray*}$

Diese Klammersetzung ist falsch. Hier steht:

$\begin{eqnarray*} 1 - \left( \frac{P(C)}{1} - P(B^c) \right) \end{eqnarray*}$

Und das meinst du doch sicher nicht.

21.08.2008, 20:56

hehe12

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wohl war...

bleibt nichts hinzuzufügen smile

danke

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