Klausurfragen - Analysis, Klasse 11

19.05.2006, 15:03

Krissi123

Klausurfragen - Analysis, Klasse 11

Hallo!

Möchte mit jemandem eine Klausur besprechen, bin mir aber bei ein paar Kleinigkeiten nicht so ganz sicher.

Aufgabe 1) Beweise, dass die 1. Ableitung einer konstanten Funktion an jeder Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ihres Definitionsbereiches gleich 0 ist.

So, ich hab dann mal den Differentialquaotienten gebildet und nen bisschen rumgerechnet:
Allgemein gilt: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
Meine Funktion lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=c ~\text{mit}~c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Also sieht mein Differentialquotient so aus: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{c+h-c}{h} \end{eqnarray*}$
Das c hebt sich auf und über bleibt:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h}=\lim_{h \to 0}1=1 \end{eqnarray*}$

Wo steckt mein fehler?

Aufgabe 2)
Begründe oder widerlege durch ein Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} f'(x_E)=0 \end{eqnarray*}$ ist ein hinreichendes Kriterium für ein Extremum.

Reicht es dort zu sagen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x³ \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ die Steigung 0 hat, also gilt $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ , diese Funktion jedoch dort kein Extremum hat, sondern einen Sattelpunkt? Oder sollte man mit Vorzeichenwechselkriterium bzw. 2. Ableitung argumentieren?

Wär super, wenn ihr mir helfen könntet!

Gruß,

Krissi

edit: Hab da noch ne Frage.
Beweisen, dass die Funktion mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=4x³-2x²+x-1 \end{eqnarray*}$ keine Extremwerte besitzt. Ihre einzige Nullstelle ist $\begin{eqnarray*} 0,7 \end{eqnarray*}$ . Skizziere den Graphen und begründe deine Skizze.

So, also das mit den Extremwerten ist einfach. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ hat einfach keine Lösung.
Aber dann hat die Funktion gar keine Nullstelle bei 0,7 sondern bei ca. 0,6766.
Wie würdet ihr die Aufgabe verstehen??

19.05.2006, 15:17

zweiundvierzig

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zu 1.)

Wir betrachten zunächst den Differentialquotienten mit $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ . Es gilt dann $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac{c-c}{x-x_0}=0 \end{eqnarray*}$

zu 2.)

Deine Bedingung ist noch nicht hinreichend. Das, was du mittels der zweiten Ableitung herausfindest stellt ein hinreichendes Kriterium dar.

zu 3.)

Wenn du rundest kommst du doch auf 0.7...

gruß
zweiundvierzig

19.05.2006, 15:19

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Der Witz bei der 1) ist doch, dass $\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt, da die Funktion konstant ist. Das heißt, dass das h keine Auswirkungen auf den Funktionswert hat.

19.05.2006, 15:21

Krissi123

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Danke n!. Ist ja auch logisch Augenzwinkern

Zu 2)
ich weiß, dass das mit der zweiten Ableitung ein hinreichendes Kriterium ist. Aber man soll ja widerlegen, dass auch die Nullstellen der ersten Ableitung Hinreichend sind. Und hab ich das nicht mit dem Gegenbeispiel f(x)=x³ widerlegt?

19.05.2006, 18:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Krissi123
Und hab ich das nicht mit dem Gegenbeispiel f(x)=x³ widerlegt?

Ja. Oder hat das jemand bezweifelt?

19.05.2006, 18:30

Krissi123

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Krissi123
Und hab ich das nicht mit dem Gegenbeispiel f(x)=x³ widerlegt?

Ja. Oder hat das jemand bezweifelt?

Sorry, dann hab ich dich irgendwie falsch verstanden.

Und nochmal mit der 0,7. Ich hätte die Aufgabe so verstanden, dass ich auch zeigen muss, dass 0,7 die einzige Nullstelle ist.
Also würdet ihr jetzt einfach den Graphen skizzieren und gut is?

20.05.2006, 10:52

mercany

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Das kommt drauf an, wie originalgetreu du die Aufgabe abgeschrieben hast.
Steht es da so formuliert wie oben, dann ist der Satz

Zitat:

Ihre einzige Nullstelle ist 0,7

als gegeben anzusehen.
Andererseits wäre die Aufgabe dann ja schon sinnlos, weil man benutzen kann, dass ein Extrema immer zwischen zwei Nullstellen liegt.

Gruß, mercany

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