Äquivalenz zweier Kongruenzen

20.08.2008, 22:16	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz zweier Kongruenzen Hallo, ich lese gerade im 'Lehrbuch der Algebra' von Gerd Fischer, Seite 17 (Auflage 1, 2008), dass die folgenden Ausdrücke äquivalent seien: Ausdruck 1: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{10} (11-k)a_k \equiv 0 (mod 11) \end{eqnarray}$ Ausdruck 2: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{10} ka_k \equiv 0 (mod 11) \end{eqnarray}$ ich weiß nicht weiter Warum sind die beiden äquivalent? Es geht in dem Abschnitt (Beispiel 10 im Buch) um ISBN-Prüfziffern. Die allgemeine Form für ISBN-10 sei $\begin{eqnarray} a_1-a_2 a_3 a_4-a_5 a_6 a_7 a_8 a_9-a_{10} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} a_{10} \end{eqnarray}$ die Prüfziffer darstellt, für die der o.g. 'Ausdruck 1' die Prüfbedingung ist. (Damit es nicht zu Verwirrungen kommt beim Lesen: Die Minuszeichen in der allgemeinen Form sind lediglich Bindestriche. Das ist kein mathematischer Ausdruck. Bsp: ISBN 3-88244-065-1 ist die Nummer meines Aquarien-Atlas') Freue mich über Hilfe ! Gruß babelon
20.08.2008, 22:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} a \equiv a_1 \pmod m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \equiv b_1 \pmod m \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} a+b \equiv a_1+b_1 \pmod m \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} ab \equiv a_1b_1 \pmod m \end{eqnarray}$ . Wie du ersteres anwendest, sollte klar sein. Letzteres wendest du an, indem du $\begin{eqnarray} a = -1 \end{eqnarray}$ wählst.
20.08.2008, 22:36	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, erst mal danke für deine schnelle Antwort. Ich weiß nicht, wie es geht. Kannst du mir das bitte näher erklären? Gruß babelon
20.08.2008, 22:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch leicht einzusehen, dass es reicht zu zeigen, dass folgende Äquivalenz gilt: $\begin{eqnarray} (11-k)a_k \equiv 0 \pmod {11} \Longleftrightarrow ka_k \equiv 0 \pmod {11} \end{eqnarray}$ Wo genau kommst du denn jetzt nicht weiter? Du bist doch bestimmt schonmal mit Kongruenzen umgegangen.
21.08.2008, 06:39	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (11 - k)a_k \end{eqnarray}$ ist durch 11 teilbar $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ka_k \end{eqnarray}$ ist durch 11 teilbar.
21.08.2008, 17:55	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, (ich hab jetzt erst wieder Zeit gehabt hier reinzuschauen) danke! Vielen Dank. mit den beiden letzten Aussagen zusammen von euch (tmo, WebFritzi) bin ich sofort drauf gekommen. gruß babelon @tmo: viel verstehe ich da noch nicht, wofür Kongruenzen interessant sein sollen.
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