Minimalpolynom berechnen

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19.05.2006, 16:59	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom berechnen hab hier eine matrix gegeben und soll davon das minimalpolynom bestimmen... bisher verstehe ich dass ich durch die eigenwerte von A das minimalpolynom bestimmen kann: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die eigenwerte hiervon habe ich berechnet ergibt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = -2, 2 mein minimalpolynom ist ja dann (x-2)(x+2) anscheind stimmt das abe rnicht ganz,... irgendwie muss man hiernoch pfüfen und die werte -2 und 2 einsetzten ob: $\begin{eqnarray} (A-2)\neq 0 oder (A+2)\neq 0 \ oder\ ob (A+2)(A-2)\neq 0 \end{eqnarray}$ da wo die matrix null gibt das is dann wirklich das minimalpolynom kann mir da jemand weiterhelfen und mir das gescheit erklären...
19.05.2006, 17:09	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom berechnen Ohne jetzt hier etwas nachgerechnet zu haben: Hast du dir schon Gedanken über die Vielfachheiten gemacht?
19.05.2006, 17:18	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
nein hab ich net weil ichs net verstanden habe. kannst du mir das was zu sagen der was mus man beachten hab null ahnun davon
19.05.2006, 17:39	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss wohl die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes -2 und 2 bestimmen aber wie amcht man das?
19.05.2006, 18:09	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir doch ma die Definition der algebraischen Vielfacheit an! Wie ist denn dein charakteristisches Polynom?
19.05.2006, 18:16	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
mein char. polynom hieße dann (x^2-2)^2
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19.05.2006, 19:02	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
somit habe ich dann werte x=-2 und x=2 mein minimalpolynom ist dann (x-2)(x+2) da (A-2)*(A+2)=0 oder wie schreibt man das korrekt formal auf?
19.05.2006, 21:32	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das charakt. Polynom ist korrekt, die Eigenwerte sind $\begin{eqnarray} \sqrt{2}~\mbox{ und}~ -\sqrt{2} \end{eqnarray}$ , entsprechend ist die Faktorisierung anzupassen (Wurzel 2 jeweils statt 2). Das Minimalpolynom ist korrekt, die Faktorisierung nicht. Grüße Abakus EDIT: du kannst schreiben $\begin{eqnarray} p_{min}(x) = x^2 - 2 \end{eqnarray}$ o.ä.
19.05.2006, 21:57	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich danke dir bin mitlerweile bei nem andern bsp wo ich probleme bekommen habe da ich nur ein x habe und ich kein minimalpolynom rausbekomme die matrix lautet $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mein einziger eigenwert ist hier 5,6788.... was muss ich tun? oder hab ich einen fehler drin? denn der eigenwert ist schon seltsam
19.05.2006, 22:11	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn das charakteristische Polynom? Dein einer Eigenwert stimmt (gerundet), die anderen beiden EW sind komplex. Um das Minimalpolynom rauszukriegen, müsstest du das charakt. Polynom zerlegen oder andere Überlegungen anstellen. Grüße Abakus EDIT: Wenn du zeigst, dass das charakt. Polynom 3 verschiedene Wurzeln hat, kannst du folgern, dass es gleich dem Minimalpolynom sein muss. Ebenso sind irreduzible Faktoren des char. Polynoms auch im Min.Polynom enthalten.
19.05.2006, 22:33	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für den tipp habe jetzt folgende eigenwerte raus reeller Eigenwert: {5,678823030129468} komplexe Eigenwerte: {0,16058848493526592 + 0,3876908114183533·î; 0,16058848493526592 - 0,3876908114183533·î} wie geht es jetzt weiter? das minimalpolynom ist ja die grad (x-EV1)(x-EV2)(x-EV3) oder?
19.05.2006, 22:37	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deine gerundeten Werte sind korrekt. Jetzt kannst du so argumentieren, wie schon oben im EDIT beschrieben. Grüße Abakus
19.05.2006, 22:40	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du zeigst, dass das charakt. Polynom 3 verschiedene Wurzeln hat, kannst du folgern, dass es gleich dem Minimalpolynom sein muss. Ebenso sind irreduzible Faktoren des char. Polynoms auch im Min.Polynom enthalten. wie meinst du das mit den 3 verschiedenen wurzeln und was ist unter irreduziblen faktoren zu verstehen? hab da sim skript nie verstanden
19.05.2006, 22:46	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschiedene Wurzeln bedeutet verschiedene Nullstellen. Im Gegensatz dazu kann es auch mehrfache Nullstellen oder Wurzeln geben, zB $\begin{eqnarray} (x-5)^3 (x-1) \end{eqnarray}$ . Hier ist 5 eine dreifache Nullstelle und 1 eine einfache Nullstelle. Das Polynom $\begin{eqnarray} x^2 + 1 \end{eqnarray}$ ist zB über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ irreduzibel, dh. du kannst es nicht in Linearfaktoren zerlegen. Über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist es dagegen nicht irreduzibel. Grüße Abakus
19.05.2006, 22:54	chrissi	Auf diesen Beitrag antworten »
ey du bist cool du kannst super erkären, besser als meine profs und tutoren :-)
19.05.2006, 23:03	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse, dass du es verstanden hast . Grüße Abakus

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