Beispiel : Integralrechnung

21.08.2008, 17:25

Felix

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Beispiel : Integralrechnung

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x(e^{x²} + sin(2x² - 1))~dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} x \cdot \int_{}^{}~e^{x²} + sin(2x² - 1)~dx - \int_{}^{}~[\int_{}^{}~e^{x²} + sin(2x² - 1)~dx]~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt berechne ich :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{x²} + sin(2x² - 1)~dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^{z}}{2x}~dz + \int_{}^{}~\frac{sin(u)}{4x} ~du \end{eqnarray*}$

Was mach ich jetzt, ich müsste ja eigentlich eine Partialbruchzerlegung machen verwirrt

verwirrt

lg

Edit :

Odermuss ich mit partieller Integration weiter machen?

21.08.2008, 17:29

AD

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Fang lieber mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ an, dann brauchst du weder partielle Integration noch PBZ...

21.08.2008, 17:30

Rare676

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Ich verstehe überhaupt gar nicht, was du da vor hast. Fang mit Substitution von u=x^2 an.

Edit: zu spät

21.08.2008, 17:33

Felix

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Guter Tipp Big Laugh

Big Laugh

21.08.2008, 20:04

Felix

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~2x~dx \frac{cosx - cos³x}{sin x} = \int_{}^{}~cosx~sinx~dx = sin² x - \int_{}^{}~sinx~cosx~dx = \int_{}^{}~cosx~sinx~dx \end{eqnarray*}$

Warum gibt es keine Stammfunktion ?

lg

21.08.2008, 20:58

AD

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Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~2x~dx \frac{cosx - cos³x}{sin x} = \int_{}^{}~cosx~sinx~dx \end{eqnarray*}$

Soll das sowas wie eine Umformung sein? Falls ja, dann ist sie falsch.

Und woher kommt diese ebenfalls falsche Einschätzung, dass es hier keine Stammfunktion gibt?

Man kann ja Fehler machen, aber wenn man zudem seine Rechnung nicht erläutert und nur solche Bruchstücke hinknallt, dann ist es schwierig zu helfen. unglücklich

unglücklich

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21.08.2008, 22:10

Felix

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac{cosx - cos³x}{sin x}~dx =\int_{}^{}~\frac{cos x(1 - cos²x)}{sinx}~dx =\int_{}^{}~\frac{cos x(sin²x)}{sinx}~dx = \int_{}^{}~cosx~sinx~dx = sin² x - \int_{}^{}~sinx~cosx~dx = \int_{}^{}~cosx~sinx~dx \end{eqnarray*}$

Hab mich vorher bei der Angabe vertan ...

22.08.2008, 12:02

AD

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Ok, das mit dem 2x war also Unsinn...

Wieso meinst du nach der richtig durchgeführten partiellen Integration

Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cosx~sinx~dx = sin² x - \int_{}^{}~sinx~cosx~dx \end{eqnarray*}$

mit dem "es gibt keine Stammfunktion" ? verwirrt

verwirrt

Das Integral rechts nach links bringen und durch 2 teilen!

22.08.2008, 12:09

Felix

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Danke

Freude

22.08.2008, 13:20

Felix

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Ein weiteres Beispiel bei dem ich meine Mühe hab unglücklich

unglücklich

:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x³ + 2x}{(x²+1)²} ~dx \end{eqnarray*}$

Substituieren von z = x² + 1 führt zu

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x³ + 2x}{z² \cdot 2x} ~dz =\int_{}^{}~(x² + 2) \cdot \frac{1}{2z²}~dz \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun 2mal partielle Integration anwende erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2z} \cdot (x²+2) - \int_{}^{}~-\frac{1}{2z} \cdot 2x~dz = -\frac{1}{2x² + 2} \cdot (x²+2) + \frac{ln\mid 2x² +2\mid }{4} \cdot 2x - \int_{}^{}~\frac{ln\mid 2x² +2\mid }{2}~dx = -\frac{1}{2x² + 2} \cdot (x²+2) + \frac{ln\mid 2x² +2\mid }{4} \cdot 2x - \frac{(2x² + 2)ln\mid 2x² +2\mid - (2x² +2)}{8x}<br /> \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} -\frac{(x²+2)}{2x² + 2} + \frac{2xln\mid 2x² +2\mid }{4} - \frac{(2x² + 2)ln\mid 2x² +2\mid - (2x² +2)}{8x} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, dass ich mich sicher 10mal verrechnet habe, kann man das so überhaupt machen ????
Wie würde man dieses Beispiel normal lösen verwirrt

verwirrt

lg

22.08.2008, 13:34

AD

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Scheint eine Volksseuche zu sein, diese "unvollständigen" Substitutionen, so oft habe ich diesen Mist hier schon im Board lesen müssen:

Wenn du Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ substituierst, dann gefälligst ALLE Instanzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . D.h., nach erfolgter Substitution hat KEIN $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mehr was im Integral zu suchen!!!

22.08.2008, 13:39

Felix

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x³ + 2x}{z² \cdot 2x} ~dz =\int_{}^{}~(x² + 2) \cdot \frac{1}{2z²}~dz = \int_{}^{}~\frac{z + 1}{2z²}~dz \end{eqnarray*}$

So richtig ?

22.08.2008, 13:40

AD

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Jepp, genauso. Freude

Freude

22.08.2008, 14:12

Felix

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OK

Nur noch eine Frage :

sollte es nicht eigentlich

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x³ + 2x}{(x² + 1)²} ~dx \neq \int_{}^{}~\frac{x³ + 2x}{z² \cdot 2x} ~dz = \int_{}^{}~(x² + 2) \cdot \frac{1}{2z²}~dz \end{eqnarray*}$

sein? Da ja sofort nach der Substitution jedes x in z ausgedrückt sein muss ?

lg und vielen Dank smile

smile

22.08.2008, 14:19

klarsoweit

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Deswegen sollte man das Integral etwas vorbereiten:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2}~dx = \frac 1 2 \cdot \int_{}^{}~\frac{x^2 + 1 + 1}{(x^2 + 1)^2}~2xdx \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann man problemlos x² + 1 = z und 2xdx = dz substituieren. smile

smile

22.08.2008, 14:43

Felix

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Alles klar, danke Freude

Freude

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