endlicher Falls vs. unendlicher Fall Wahrscheinlichkeit

20.05.2006, 14:42	Sephiroth	Auf diesen Beitrag antworten »
endlicher Falls vs. unendlicher Fall Wahrscheinlichkeit hallo ich hab gezeigt für den endlichen fall B1,....Bn aus A mit Bi intersect Bj = empty für alle i ungleich j und B1 union ..... union Bn = omega das P(A) = summe(von k = 1 bis n) [P(A \| Bk) * P(Bk) ] wie kann ich den unendlcihen fall zeigen genauso wie den endlichen Fall also da A = (A intersect B1) union....union (A intersect Bn) ist P(A) = P( (A intersect B1) union....union (A intersect Bn) ) = summe(von k = 1 bis n) P(A intersect Bi) * 1 =summe(von k = 1 bis n) P(A intersect Bi) * (P(Bi) / P(Bi)) = P(A) = summe(von k = 1 bis n) [P(A \| Bk) * P(Bk) ] und ueinfach das n durch unendlich ersetzen oder muss ich etwas spezielles beachten... P.s. wie kann ich in LATEX einen Index an einen Buchstaben hinzufügen also Bk ??
20.05.2006, 15:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeiten sind per definitionem sigma-additiv, d.h., für eine Folge disjunkter Mengen $\begin{eqnarray} (C_k)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} C_k \right) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} P(C_k) \end{eqnarray}$ Und das benutzt du einfach für $\begin{eqnarray} C_k=A \cap B_k \end{eqnarray}$ , und mit $\begin{eqnarray} P(A\cap B_k) = P(B_k)P(A \bigm\| B_k) \end{eqnarray}$ bist du schon fertig. P.S.: Über den endlichen Fall allein kannst du dich der Sache nicht nähern. Es hat schon seinen Grund, warum für Wahrscheinlichkeiten nicht nur die einfache Additivität, sondern die Sigma-Additivität gefordert wird!

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