Reihenentwicklung

22.08.2008, 00:33

xole_X

Reihenentwicklung

Hallo,
da ich alleine mit folgender Aufgabe nicht klar komme, bitte ich euch um Hilfe smile

Ich soll zu

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^4+1} \end{eqnarray*}$

eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 erstellen. Als Tipp wird uns mitgegeben, dass wir x und x^4+1 zunächst getrennt als Potenzreihen auffassen sollen und mittels CauchyProdukt später arbeiten sollen.

nun denne, ich fang einfach mal an:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty~a_n(x-0)^n = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{n=0}^\infty~b_n(x-0)^n = x^4+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{n=0}^\infty~a_n(x)^n}{\sum_{n=0}^\infty~b_n(x)^n} = \sum_{n=0}^\infty~c_n(x)^n \end{eqnarray*}$

Nun steht in unserem Skript, dass f/g nur erlaubt ist, wenn b_0 ungleich 0 ist.
Was mach ich aber nun?
Außer für b_0 ungleich 0 hab ich doch gar keine Info. Wie soll ich denn a_n b_n c_n dann bitte wählen?
Das Einzige, was mir jetzt noch auffällt, man könnte zB a_1 = 1 wählen und für Rest von a_n = 0, dann kommt für die Summe zumindestens schonmal x raus.
Und für b_0 = 1 und b_4 = 1, dann kommt man auch auf x^4+1 für die Summe, wenn man rest von b_n als 0 definiert

22.08.2008, 00:55

tigerbine

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Beide Funktionen sind doch Polynome. Du solltest doch daher imho die Koeffizienten der Reihe direkt angeben können, odeR?

22.08.2008, 01:01

xole_X

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hab ich das oben nicht schon teilweise (falls das überhaupt stimmen sollte)?
oder wie meinst du das genau?

Zitat:

Das Einzige, was mir jetzt noch auffällt, man könnte zB a_1 = 1 wählen und für Rest von a_n = 0, dann kommt für die Summe zumindestens schonmal x raus.
Und für b_0 = 1 und b_4 = 1, dann kommt man auch auf x^4+1 für die Summe, wenn man rest von b_n als 0 definiert

22.08.2008, 01:07

tigerbine

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Ich meine das: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Beispiele

Dann ergibt sich doch:

$\begin{eqnarray*} f(x) :=x = \sum_{n=0}^\infty~a_n(x-0)^n, \quad a_0=0,~ a_1=1,~a_n=0 ~\forall n >1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x):=1+x^4= \sum_{n=0}^\infty~b_n(x-0)^n,~\quad b_0=1,~b_1=b_2=b_3=0,~b_4=1,~b_n=0 ~\forall n >4 \end{eqnarray*}$

Damit ist doch $\begin{eqnarray*} b_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Mich hat das "man könnte" in deiner Formuliereung verwundert, da sich doch jedes Polynom als Potenzreihe auffassen lässt (siehe Link). Der Entwicklungspunkt 0 macht hier die Koeffizientenbestimmung recht angenehm.

http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyprodukt

22.08.2008, 02:33

tigerbine

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Weil es mich jetzt fuchst, versuch ich das mal. Also ich schue mir an, wie das CP-definiert ist. (a und c habe ich schon mal in der Bezeichnung "vertauscht") Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (c_n) \cdot (b_n) = (a_n) = \sum_{n=0}^\infty a_n,\text{ mit } a_n = \sum_{k=0}^n {c_{k} b_{n-k}} \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} a_0 = c_0\cdot \underbrace{b_0}_{=1} \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = c_0\underbrace{b_1}_{=0} + c_1\underbrace{b_0}_{=1} \stackrel{!}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = c_0\underbrace{b_2}_{=0} + c_1\underbrace{b_1}_{=0} + c_2\underbrace{b_0}_{=1} \stackrel{!}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3 = c_0\underbrace{b_3}_{=0} + c_1\underbrace{b_2}_{=0} + c_2\underbrace{b_1}_{=0} + c_3\underbrace{b_0}_{=1} \stackrel{!}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_4 = c_0\underbrace{b_4}_{=1} + c_1\underbrace{b_3}_{=0} + c_2\underbrace{b_2}_{=0} + c_3\underbrace{b_1}_{=0} + c_4\underbrace{b_0}_{=1} \stackrel{!}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_5 = c_0\underbrace{b_5}_{=0} + c_1\underbrace{b_4}_{=1} + c_2\underbrace{b_3}_{=0} + c_3\underbrace{b_2}_{=0} + c_4\underbrace{b_1}_{=0} + c_5\underbrace{b_0}_{=1} \stackrel{!}= 0 \end{eqnarray*}$

So, was ergibt sich da jetzt...

$\begin{eqnarray*} c_0 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_5=-1 \end{eqnarray*}$

für mehr bin ich nun zu Schläfer

22.08.2008, 10:23

Mathespezialschüler

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Und wenn man es am Ende überprüfen oder gleich den einfachen Weg gehen möchte, dann denke man an die geometrische Reihe.

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