Exponentielles Wachstum

22.08.2008, 01:14

Starup

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Exponentielles Wachstum

Hallo liebe Mathegenies

Ich habe vor Kurzem das Abi gemacht und gebe nun Nachhilfe. Ich sollte nun einigen jüngeren Nachhilfe zum Thema exponentieller Zerfall/Wachstum geben.

Da dieses Thema für mich schon länger zurückliegt wäre ich extrem dankbar wenn mir jemand die zwei folgenden Aufgaben Schritt für Schritt zu lösen hilft. Damit ich den anderen wirklich auch alles beibringen kann.

Zudem bin ich dankbar für eine Theorieseite zu dem Thema oder anderen Topics im Forum die ähnliche Aufgaben besprechen (gibts eine Suche hier über die ich die finden kann?)

Aufgabe 1:
Die Zahl der Schafe einer Farm wächst exponentiell. Im August (immer der 1. im Monat gilt) waren es 2300 im Dezember 36200 Schafe. Wieviele waren es im September, Oktober, November und am 15. Januar?

Aufgabe 2:
Vom Jahr 1860 bis zum jahr 1980 ist die Wohnbevölkerung der Schweiz von 2510500 auf 6366000 angewachsen. Wie viele Promille betrug die jährliche zunahme, wenn angenommen wird, dass die Bevölkerung von Jahr zu Jahr um gleich viel Promille zunahm? (Das ist doch dann garnicht exponentiell?... Kann man da nicht einfach rechnen: 2510500/1000=w (1 Promill), 6366000/w-1000=Promillezunahme, Promillezunahme/20=jährliche Promillezunahme ... Ist das so gelöst?

22.08.2008, 01:15

tigerbine

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RE: Exponentieller Zerfall

Zitat:

Zudem bin ich dankbar für eine Theorieseite zu dem Thema oder anderen Topics im Forum die ähnliche Aufgaben besprechen (gibts eine Suche hier über die ich die finden kann?)

http://www.matheboard.de/search.php

http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentielles_Wachstum

22.08.2008, 01:31

tigerbine

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Erste Aufgabe

Zitat:

Aufgabe 1:
Die Zahl der Schaafe einer Farm wächst exponentiell. Im August (immer der 1. im Monat gilt) waren es 2300 im Dezember 36200 Schaafe. Wieviele waren es im September, Oktober, November und am 15. Januar?

Gehen wir, da der 15 Nov abgefragt wird von t in Tagen aus. Wie würdest Du nun denn ansetzten. Wo wollen wir mit der Betrachtung beginnten, welchem Tag entspricht also t=0?

22.08.2008, 01:35

mYthos

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Schaafe sind unbekannt, wohl kennen wir aber Schafe !! Big Laugh

Big Laugh

mY+

22.08.2008, 01:37

Starup

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Nt=N0*e^(x*t)

Also Auf Aufgabe 1 bezogen:
NDez(36200S)=NAug(2300)*e^(x*3(da drei Monate dazwischen)

36200=2300*e^(x*3)

Kann ich das so in den Rechner geben? Un dann einfach statt 3 die Monatsunterschiede zwischen August und den anderen Monaten eingeben?

Edit: Habe den 1. August als t(09) genommen da dieses das erste datum ist.

22.08.2008, 01:43

tigerbine

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Die Schweizer sprechen ja auch laangsaamer. Big Laugh

Big Laugh

t=0 ist also der erste August. Es gilt dann also für die Schaffunktion S

$\begin{eqnarray*} S(t) = 2300 \cdot e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray*}$

Welchem t entspricht denn nun der erste Dezember?

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22.08.2008, 01:54

Starup

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Der erste Dezember ist 4 Monate später, stimmt =) ... also müsste die Gleichung heissen:

36200=2300*e^(x*4)

Und um zB den September herauszufinden muss mann dann auflösen

Sept=2300*e^(x(kennt man jetzt)*1(da 1 Monat später))

Richtig =)?

22.08.2008, 01:59

tigerbine

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Nein, wir Leben in einer verrückten Welt, oder haben in der Schweiz alle Monate gleich viele Tage? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich wäre halt hier auf eine Schrittweite von t in Tagen gegangen, da sowohl der erste des Monats angeführt wurde, als dann explizit nach dem Wert am 15 gefragt ist.

1. August t=0
31. August t=30
1. September t=31
30. September t=60

etc.

22.08.2008, 02:01

Starup

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Oh tschuldige, es geht nicht um die Monate, wird angenommen dass jeder Monat 30 Tage hat (in der Originalaufgabe steht glaub Tag 9 und 12 statt August und Dezember, ich hab das jetzt für die denen ich das beibringen soll abgeändert. Hab aus Tag 9 einfach Monat 9, also August gemacht.. und garnicht daran gedacht dass die ja unterschiedlich lang sind =))

22.08.2008, 02:04

tigerbine

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Verwirrt.

Big Laugh

Also ihr nehmt nun an, dass alle Monate 30 Tage haben?

22.08.2008, 02:06

Starup

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Ja..... du kannst an Stelle vom August(8. Monat im Jahr) auch den 8. eines Monates nehmen. Dann währe der Dezember der 12. dieses Monates und gesucht sind die Tierbestände des 10., 11. und 13. zu Mittag (also nur der 13. ist zu Mittag)

Edit: Oder man nimmt als N0 8:00 Morgens, und N4 ist dann 12:00 und gesucht sind 9:00, 10:00, 11:00 und 13:30 .. aber so schnell vermehren sich die Schafe kaum =)

Stimmt das so?

22.08.2008, 02:27

tigerbine

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So, Internet gerade mal abgeschmiert. böse

böse

Wahrscheinlich stand ein Schaf auf der Leitung.

Der erste august ist bei mir t=0,daher schon einmal

$\begin{eqnarray*} S(t) = 2300 \cdot e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray*}$

Der erste Dezember ist dann t=199

$\begin{eqnarray*} 36200= 2300 \cdot e^{\lambda \cdot 199} \end{eqnarray*}$

Nun mal das lmbda bestimmen.

22.08.2008, 02:36

Starup

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Hmm sehe ich ja genauso.. nur dass ich das t in Monaten rechne: das t ist 4 (Monate)... oder wie oben geschrieben 4 Tage oder Stunden wenn man das mit Tage statt mit Monate macht, nicht? Und für den letzten Monat (oder die letzte Stunde) müsste man als t dann 13.5 eingeben. Ich rechne hier das Beispiel nochmals so durch wie ich es mir jetzt vorstelle den Nachhilfeschülern zu zeigen:

Die Zahl der Bakterien (ist logischer) wächst exponentiell. Um 8:00 waren es 2300 um 12:00 Uhr 36200 bakterine. Wieviele waren es um 9:00, 10:00, 11:00 und 13:30?

(gleiche Zahlen aber etwas logischer aufgebaut die Aufgabe jetzt =))

N0 ist also um 8:00Uhr
N4 ist um 12:00 Uhr da 4 Stunde später

Nt=N0*e^(x*t)

N4(36200S)=N0(2300)*e^(x*4(da Stunde dazwischen))

36200=2300*e^(x*4)

Dann kennt man x.
Um jetzt zB den Bestand um 13:30 herauszufinden muss man:
N5,5=2300*e^(x(jetzt bekannt)*5.5) rechnen.

Stimmt doch so, oder?

22.08.2008, 02:44

tigerbine

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Da ich stur bin wie ein Schaf Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \ln( \frac{36200}{2300})= \lambda \cdot 199 \end{eqnarray*}$

Grob gerundet

$\begin{eqnarray*} S(t)= 2300 \cdot e^{0.014 \cdot t} \end{eqnarray*}$

Da du es lieber mit Monaten hast:

$\begin{eqnarray*} \ln( \frac{36200}{2300})= \lambda \cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{S}(m)= 2300 \cdot e^{0.689 \cdot m} \end{eqnarray*}$

22.08.2008, 02:49

Starup

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Aber bei meiner neuen Bakterienaufgabe (sind ja die gleichen Zahlen) gibt es doch kein 199 mehr.. oder wie kommst du noch auf 199?

Stimmt meine neue Aufgabe wenigstens =)?

$\begin{eqnarray*} \hat{S}(m)= 2300 \cdot e^{0.689 \cdot m} \end{eqnarray*}$ ist genau das was ich gesagt habe, oder? *froi*

Dann kann ich den anderen sicher gut Nachhilfe geben mit diesem Beispiel =) (aber mit Stunden..nicht mit Monaten =))

Danke viel viel Mal

22.08.2008, 02:55

tigerbine

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Ich bin ein stures Schaf. Meinst du ich passe jedesmal meine Rechnung an ROFL

ROFL

Ich hab nur den Datensatz 1August + 1. Dezember bearbeitet. Beide Male mit Monaten, die alle gleich lang sind, und 30 Tage haben. Das ist schon schlimm genug. Wenn Schafe nun auch noch Bakterien sind, dann schnall ich ab. Big Laugh

Big Laugh

Edit:

Prinzip ist aber immer das gleiche. Funktionstyp aufstellen, variablen bestimmen, auf die Einheiten achten.

22.08.2008, 02:59

Starup

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Du bist doch gut in Mathe... da sollte doch klar sein dass es egal ist ob nun Schafe oder Bakterien :-P =) (Schafe vermehren sich in einem Tag nicht so stark =))

1 August bis 1. Dezember.. das sind 4 Monate(man geht von 30 Tagen pro Monat aus..hast du ja schon übernommen) .. von 8:00 bis 12:00 sind es 4 Stunde.. das kommt also auch nicht draufan... .. die Zahlen bleiben auch die gleichen...

Müsste also stimmen, meine Rechnung, oder? (Hab die da oben gepostet, in meinem vorletzen Posting) .. Hab keinen Taschenrechner hier.... aber der könnte dann ja zuerst nach x und dann nach den Studnentierständen (oder von mir aus Monatsständen) aufgelöst werden..?

Edit: Schlussfrage:

36200=2300*e^(x*4)

Dann kennt man x.
Um jetzt zB den Bestand um 13:30 herauszufinden muss man:
N5,5=2300*e^(x(jetzt bekannt)*5.5) rechnen.

Stimmt doch so, oder?

Danke viel Mal für deine Hilfe

22.08.2008, 03:06

tigerbine

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Zitat:

Hab keinen Taschenrechner hier.

Start->Programme->Zubehör-> Rechner (Ansicht wissentschaftlich) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

1 August bis 1. Dezember.. das sind 4 Monate(man geht von 30 Tagen pro Monat aus..hast du ja schon übernommen) .. von 8:00 bis 12:00 sind es 4 Stunde.. das kommt also auch nicht draufan... .. die Zahlen bleiben auch die gleichen...

Wenn du das so sagst^^ War zu faul deinen neuen Text zu lesen... Geb ich ja zu... Mit Zunge

Mit Zunge

Zitat:

Müsste also stimmen, meine Rechnung, oder? (

Das ist ein ziemliches Kuddelmuddel... Wie kann man Formeln schreiben?

Wo hast du da denn lambda bestimmt... verwirrt

verwirrt

Aber der Weg wie so Aufgaben gehen sollte nun klar sein, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.08.2008, 03:10

Starup

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Wenn die Aufgabe stimmt..... ist mir klar wie die Aufgaben gehen..da will ich nur eben sicher sein =)...

Lambda..noch nie gehört.. das ist in meiner Rechnung das x, oder?
e=eulersche Zahl, x="lambda oder so" ... ^=hoch

In der Rechnung kann man doch einfach das x ausrechnen (Gleichung nach x auflösen)
36200=2300*e^(x*4)

Dann kann man alle Monate berechnen, nicht? (ooch will ins Bett =))
Danke viel viel Mal das du mir so spät noch hilfst!

Edit: Wie gibt man bei dem Rechner ein dass man nach x auflösen will?

22.08.2008, 03:14

tigerbine

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Jo, mein lambda ist dein x.

Si claro, einfach nach x auflösen, eben mit dem ln.

Zitat:

tigerbine
$\begin{eqnarray*} \ln( \frac{36200}{2300})= \lambda \cdot 199 \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit "alle Monate" berechnen. du kannst dann für t eben "ganze Monate einsetzen", aber auch konkrete Tage lassen sich berechnen. Musst die eben in Monate (nach dem Komma) umrechnen.

edit: no prob Schläfer

Schläfer

22.08.2008, 03:16

Starup

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Genau, wunderbar =).. danke viel Mal.. dann hat das jetzt ja geklappt =)... Die Aufgabe zwei die ich gan am Anfang gestellt habe versuche ich morgen selber zu lösen..... (obwohl die eventuell garnicht exponenziell ist).. und jetzt gehe ich ins Bett.

Danke nochmals und gute Nacht

S.

22.08.2008, 03:17

tigerbine

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Gute Nacht, schau doch morgen einfach wieder rein. Da kümmert sich schon jemand um Aufgabe 2 Wink

Wink

22.08.2008, 12:08

mYthos

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Ad 2

Die prozentuelle Zunahme geschieht nicht linear, sondern progressiv (also exponentiell), weil der neu hinzugekommene Bevölkerungsteil ja ebenfalls mit an dem Wachstum teilnimmt.

Also wäre diesem Wachstum wiederum dieselbe Funktionsgleichung zu Grunde zu legen, wie bei Aufgabe 1, vorausgesetzt, es handelt sich um ein theoretisch exponentielles Wachstum. Da dem Bevölkerungsstand jedoch eine natürliche Grenze gesetzt ist, wird in der Praxis entweder mit einer begrenzten oder logistischen Wachstumsfunktion gerechnet.

mY+

22.08.2008, 12:29

Starup2

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Vom Jahr 1860 bis zum jahr 1980 ist die Wohnbevölkerung der Schweiz von 2510500 auf 6366000 angewachsen. Wie viele Promille betrug die jährliche zunahme, wenn angenommen wird, dass die Bevölkerung von Jahr zu Jahr um gleich viel Promille zunahm?

6366000=2510500*e^(x*20)

Diese Rechnung mit dem Rechner nach X auflösen lassen.. und man hat das Wachstum, oder? (Steht ja das angenommen wird das die Bevölkerung jedes Jahr gleich stark wächst)

Danke & LG
S.

22.08.2008, 12:45

tigerbine

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Zitat:

Steht ja das angenommen wird das die Bevölkerung jedes Jahr gleich stark wächst

Die Schweizer Big Laugh

Big Laugh

Aber Spass bei Seite, gerade wenn du es anderen Erklären willst solltest du dir den Kommentar von mYthos zu Herzen nehmen. Um Schülern die Aufgaben "praxisnaher" erscheinen zu lassen, wird dann ja gerne mal ein Text drum herum gebastelt. Das dieser nicht unbedingt die Wirklichkeit wiederspiegelt wurde hier gezeigt.

Also immer dran denken, dass vor solchen Aufgaben eine Annahme steht. Wink

Wink

22.08.2008, 13:31

Starup

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Tigerbiene..danke nochmals fürs Helfen in der Nacht. Stimmt demfall die Aufgabe so wie ich sie gelöst habe? Naja, vor dem Abi muss man solche Aufgaben halt vereinfachen.

Ich hätte die Rechnung 6366000=2510500*e^(x*20) jetzt einfach in den Rechner getippt und nach x auflösen lassen. Darf man das? Die ganzen Logarythmusrechnungen hab ich schon lange wieder vergessen... muss ich aber bestimmt für mein Wirtschaftsstudium das in 3 Wochen beginnt wieder auffrischen =)

Danke & LG
S.

22.08.2008, 13:59

tigerbine

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Naja, das Lösen von Exponentialgleichungen sollte man schon im Ansatz beherrschen. Also lade dir den logarithmus mal wieder drauf.

Zitat:

Aufgabe 2:
Vom Jahr 1860 bis zum jahr 1980 ist die Wohnbevölkerung der Schweiz von 2510500 auf 6366000 angewachsen. Wie viele Promille betrug die jährliche zunahme, wenn angenommen wird, dass die Bevölkerung von Jahr zu Jahr um gleich viel Promille zunahm?

Nur ist hier doch die Frage, nach was wurde gefragt. Ich rechne es nun durch, ehe du wieder keinen TR zu hand hast und ich dann das "ohne latex" Geschreibsel entziffern muss. Im Grunde ist es ja auch eindach.

Beginnen wir unsere Beobachtungen im Jahr 1860. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} B(0) = 2510500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(120) = 6366000 \end{eqnarray*}$

Nun ist hier im Text aber auch gesagt, in welcher Form wir den Wachstumsfaktor angeben sollen. Denke zum Beispiel man an das Stichwort "Halbwertszeit".

$\begin{eqnarray*} B(t) = B(0) \cdot q^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 636600 = 2510500 \cdot q^{120} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = \sqrt[120]{\frac{6366000}{2510500}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q\approx 1.008 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(t)=2510500 \cdot (0.008)^{120} \end{eqnarray*}$

Nix mit ln hier also, sondern Wurzel ziehen! Wäre das auch anders gegangen?

$\begin{eqnarray*} B(t) = B(0) \cdot e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 636600 = 2510500 \cdot e^{ \lambda \cdot120} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\ln(\frac{6366000}{2510500})}{120} \approx 0.00775 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\lambda} = 1.008 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(t)=2510500 \cdot (1.008)^{120} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, hier war nicht lambda gefragt, sondern q! Idee!

Idee!

P.S.: Bekommen wir nun einen Anteil der Nachhilfeeinnahmen Big Laugh

Big Laugh

22.08.2008, 14:30

Starup

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Ich lerne das eigentlich ja auch für mich, da ich das im Studium eh wieder brauchen werde =)... Nachhilfeunterricht gebe ich umsonst da ich selber noch genau weiss wie es ist aufs Abi zu lernen, ist ja erst ein Jahr her =)

Danke viel mal für deine Erklärung!

Demfall gilt:

$\begin{eqnarray*} B(t) = B(0) \cdot q^t \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} B(t) = B(0) \cdot e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray*}$ ?

q steht in der ersten Formel fürs Wachstum, in der zweiten Formel ist s das Lambda?
Werde mich heute etwas dem Logarythmus zuwenden und den nochmals repetieren =)

Das Wachstum ist demzufolge 8 Promille pro Jahr. Werde auch gleich schnell nachrechnen ob ich die Rechnung gecheckt habe.

22.08.2008, 14:38

tigerbine

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Des mit dem Geld war doch nur Spass. Big Laugh

Big Laugh

Nein, nur in der Form mit q können wir umgangsprachlich von dem "Wachstum in Promille" sprechen. Mathematisch ist es egal ob q oder $\begin{eqnarray*} e^{\lambda} \end{eqnarray*}$ , nur ist eben lambda nicht der Wachstumsfaktor.

Beispiel Halbwertszeit

$\begin{eqnarray*} q = 0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda =\ln(0.5) \approx -0.69 \end{eqnarray*}$

22.08.2008, 15:05

Starup

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Wenn ich jetzt aber in den Rechner eingebe:

solve(6366000=2510500*x^120, x) (Auflösen nach x)

Kommt er auf x= 1.0078 .. das Wachstum wäre demzufolge 7.8 Promille pro Jahr, nicht 8 Promille, oder?

Liebe Grüsse

S.

22.08.2008, 15:08

tigerbine

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Big Laugh

Ich hatte doch $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ geschrieben. Ist doch klar, dass ich gerundet hatte.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1000} = 0.001 \end{eqnarray*}$

Deswegen hatte ich mich entschlossen, auf 3 Nachkommastellen zu Runden.

22.08.2008, 15:11

Starup

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Okeeeee...danke viiiel mal, jetzt bin ich endlich fertig =)... Demfall kann ich das jetzt mit der Formel $\begin{eqnarray*} B(t) = B(0) \cdot q^t \end{eqnarray*}$ ausrechnen. die Formel
$\begin{eqnarray*} B(t) = B(0) \cdot e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray*}$ brauche ich demfall garnicht, oder?

Wünsche dir ein schönes wochenende =)

22.08.2008, 15:14

tigerbine

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Ich würde mir mal beide Formeln merken und wie sie zusammenhängen.

Von einer Eingabe "solve" halte ich bei so Sachen wenig. Man sollte noch selbst wissen, was zu tun ist.

Ferner würde ich mich noch damit beschäftigen, warum ich bei jeder Basis den ln verwenden kann, um die Exponentialgleichung zu lösen, obwohl der doch eigentlich zur Basis e gehört. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dir auch ein schönes Wochenende.

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