totale Diffbarkeit

20.05.2006, 21:35

kingskid

totale Diffbarkeit

Hi!
wie kann ich zeigen, dass wenn f(x,y) total differenzierbar ist in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0), f(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray*}$ und g(x,y) stetig in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ , dann auch g f in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ total diffbar ist?

von f weiß ich doch, dass sie dann auch in dem punkt stetig und partiell differenzierbar ist, aber über g weiß ich ja nur dass die funktion stetig ist in dem punkt?? *grübel*
wie kann ich dann auf die totale diffbkeit von der verkettung der beiden funktionen schließen??

20.05.2006, 22:50

Abakus

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RE: totale Diffbarkeit
Du meinst das Produkt von f und g ? Die Verkettung ist nicht definiert, da $\begin{eqnarray*} f, g : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Eine Idee ist, es auf die Basisdefinition zurückzuführen. Wie ist denn die totale Differenzierbarkeit in (0, 0) definiert und was wäre hier dann zu zeigen? Das wäre dann der Startpunkt zu dieser Aufgabe.

Grüße Abakus smile

20.05.2006, 23:27

kingskid

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Zitat:

Du meinst das Produkt von f und g ? Die Verkettung ist nicht definiert

die original-version:
"Man zeige: Ist f(x,y) total differenzierbar in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0), f(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray*}$ und g(x,y) stetig in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ , so ist auch g f in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ total differenzierbar. Man berechne die partiellen Ableitungen von gf in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ . "

müsste dann $\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0)=0 \end{eqnarray*}$ eigentlich = (0,0) sein??
für was kann ich diese angabe eigentlich benutzen??

hmm,mit unsrer definition müsste f total diffbar in einem inneren Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ aus D sein, wenn es eine lineare Funktion
L: $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ -> R gibt: $\begin{eqnarray*} L(z) = \sum_{i=1}^n~ {a_i z_i} \end{eqnarray*}$ (mit z aus $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ ), so dass
$\begin{eqnarray*} f ( \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} ) - f(\begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix} ) = L (\begin{pmatrix} x_0 -v \\ y_0 - w \end{pmatrix}) + R(\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
stimmt das so?

aber warum meinst du die Differenzierbarkeit in (0,0) ?

zeigen müsste ich dass aus der totalen diffbkeit von f(x,y) in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ die totale diffbkeit von g f in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ folgt, oder?
muss ich dazu so eine funktion L finden??

21.05.2006, 17:19

Abakus

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Zu zeigen ist demnach die totale Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ , ok. Mich irritiert hier, dass die Wertebereiche von f und g nicht angegeben sind und von der Schreibweise nicht klar ist, ob das Produkt oder die Verkettung (Hintereinanderausführung) von f und g untersucht werden soll.

Von der Aufgabenstellung her macht nur die Produktversion Sinn. Ebenso scheinen f und g reelle Funktionen zu sein. (Ist in der Aufgabe nicht angegeben, was f und g für Funktionen sein sollen?)

Dann müsstest du mit deinen Bezeichnungen betrachten:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}) \cdot g(\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}) - f(\begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix} ) \cdot g(\begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix} ) =~... \end{eqnarray*}$

Der erste Term ist 0; für f und g kannst du deine Voraussetzungen einfließen lassen.

Grüße Abakus smile

21.05.2006, 20:02

kingskid

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danke für die tipps....
also die aufgabe steht genau so auf unsrem üblatt, über f und g und fg steht nicht mehr dabei...

mh, dann hab ich ja übrig, da $\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0) = 0 \end{eqnarray*}$ und g stetig in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} - f ( \begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix}) g(\begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

aber was nun???
Diese Matrix L ist doch diese Funktionalmatrix in der die partiellen Ableitungen als Einträge stehen, oder?? aber wie kann ich von so allgemein gegebenen Funktionen partielle Ableitungen berechnen?? verwirrt

21.05.2006, 21:41

Abakus

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Jetzt kannst du die Voraussetzung anwenden, dass f total differenzierbar ist und eine solche lineare Funktion L und ein R existiert, wie du schon angegeben hast. Einfach einsetzen und den Ausdruck dann ausmultiplilzieren.

Grüße Abakus smile

22.05.2006, 17:16

kingskid

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sorry, ich seh das noch nicht wo ich was einsetzen muss..?!?

meinst du so:

$\begin{eqnarray*} ...= L (\begin{pmatrix} x_0 x_0 - v v\\ y_0 y_0 - w w \end{pmatrix}) + R ( \begin{pmatrix} x_0² \\ y_0² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber das macht doch keinen sinn???

mich verwirrt das irgendwie, dass ich jetzt das produkt von - f und g hab und in der definition die differenz zweier Funktionswerte der gleichen funktion für die es dann diese lineare Fkt und R gibt...?

... komm leider auf keine ausdruck den ich ausmultiplizieren kann *verzweifel*

22.05.2006, 20:52

Abakus

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Ich schreibe es einmal mit $\begin{eqnarray*} h = (h_1, h_2), x = (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(x+h) \cdot g(x + h) - f(x) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(x+h) \cdot g(x + h) - f(x) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = g(x+h) \cdot [f(x + h) - f(x)] + f(x) \cdot [g(x+h) - g(x)] \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ist es ähnlich wie bei der Produktregel. Nun sollte zu erkennen sein, was rauskommen müsste.

Grüße Abakus smile

22.05.2006, 22:18

kingskid

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danke dass du das mal so hingeschrieben hast. aber wie kommst du auf den ansatz mit "+h" ?

und wie kommt man damit dann wieder auf die definition von totaler differenzierbarkeit??

23.05.2006, 13:51

Abakus

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Zitat:

Original von kingskid
danke dass du das mal so hingeschrieben hast. aber wie kommst du auf den ansatz mit "+h" ?

Die Differenzierbarkeitsbedingung lässt sich ähnlich so formulieren: $\begin{eqnarray*} f(x+h)-f(x) = L(h) + r(h) \end{eqnarray*}$ , wobei r die bekannten Eigenschaften hat und L linear ist.

Zitat:

und wie kommt man damit dann wieder auf die definition von totaler differenzierbarkeit??

Du kannst analog auch die lineare Näherung von f aus der totalen Differenzierbarkeit einsetzen.

Grüße Abakus smile

24.05.2006, 22:53

kingskid

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hi ! danke für deine tipps, komm mit der aufgabe aber nicht weiter... vielleicht wart ich einfach bis wir die lösungen bekommen...

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totale Diffbarkeit

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