Diskrete Topologie (Beweis)

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
Diskrete Topologie (Beweis)
Hallo,

Definition von Diskreter Topologie (ohne dem Begriff der offenen Mengen):

Zitat:
Sei X eine beliebige nicht-leere Menge und die Familie aller Teilmengen von X. Dann ist die diskrete Topologie auf der Menge X.


Aufgabe:

Zitat:
Sei X eine unendliche Menge und eine Topologie auf X.
Zeigen Sie: Wenn jede unendliche Teilmenge von X in liegt, dann ist die diskrete Topologie auf X.


Die drei definierenden Axiome einer Topologie:
Zitat:
(i)
(ii) Die Vereinigung beliebig vieler Mengen liegen in
(iii) Der Durchschnitt endlich vieler Mengen liegen in .


Aus (i) und der Definition von folgt schonmal daß X , die leere Menge, und alle unendlichen Teilmengen in liegen; bleibt also nur zu zeigen, daß auch alle endliche Mengen in liegen.

Für Schnittmengen von zwei oder endlich vielen unendlichen Mengen, kommen drei Möglichkeiten in Frage:


(X oder unendliche Teilmenge, liegen eh schon in tau)
, diese endlichen Schnittmengen sind die , die uns noch gefehlt haben.

Also folgt aus (iii) daß auch alle endlichen Teilmengen C_n in liegen, somit ist die diskrete Topologie auf X.

Reicht das schon ?

Danke schonmal und mfg, phi
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskrete Topologie (Beweis)
Du musst zeigen, dass jede endliche Teilmenge von X offen ist (d.h. in der Topologie drin ist). Dass es für den Durchschnitt unendlicher Mengen 3 Möglichkeiten gibt, reicht dazu nicht.

Grüße Abakus smile
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Abakus, im online-Buch "Topologie without tears" wird der Begriff der offenen Menge erst nach obiger Aufgabe eingeführt. Aber mit dem "topologischen de Morgan" was im nächsten Abschnitt drankommt, gilt ja dann

Zitat:
Der Durchschnitt einer endlichen Anzahl von offenen Mengen ist wieder offen.


Und da die unendlichen Teilmengen von clopen, also auch offen sind, sind auch alle endlichen Teilmengen der Form

offen.

(Genauer gesagt sind sie clopen, aber schließlich sind bei diskreten Topologien alle Teilmengen von X clopen).

Danke, jetzt bin ich einigermaßen fit fürs nächste Kapitel! (Bis auf die Sternchen-Aufgabe, siehe Thread "Topologien auf IR, Q, IR\Q" ) smile

mfg, phi
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Tolles Buch, macht Spass und ist exzellent erklärt! Ich werd da auch mal etwas schmökern... Augenzwinkern

Wenn du benutzt, dass alle unendlichen Mengen auch abgeschlossen sind, wäre das noch zu zeigen (die Eigenschaften einer diskreten Topologie sind nicht benutzbar, denn die Diskretheit ist erst zu zeigen). Wenn du das hast, sind alle endlichen Mengen als Komplemente offen und der Satz ist gezeigt.

Grüße Abakus smile
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