Taylorreihe: Problem bei Aufgabe

21.05.2006, 19:33

Maumau

Taylorreihe: Problem bei Aufgabe

Hiho Leutz^^

Ich habe ein Problem bei der Erstellung einer Taylorreihe für folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

Bitte um sehr schnelle Hilfe!!!

Gruß, Maumau

21.05.2006, 19:43

Egal

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Wo hängts denn?
Was hast du dir schon überlegt?
Was ist dein Entwicklungspunkt?

21.05.2006, 19:57

Maumau

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Also: mein Entwicklungspunkt ist 0!!!

Die Taylorformel benutze ich nicht, sondern ich leite sie sozusagen speziell
für diese Funktion her.

Also ich habe eine Funktion 5. Grades.
Rechne die a's aus und erhalte so für diese Funktion:

$\begin{eqnarray*} p5(x)= 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x^2+ \frac{3}{8} x^3-\frac{15}{16} x^4+\frac{105}{32}x^5 \end{eqnarray*}$

Jetzt bekomme ich daraus bloß keine allgemeingültige Taylorreihe!!!

gruß, Maumau

21.05.2006, 20:06

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Ab dem quadratischen Glied hast du dich leider verrechnet. unglücklich

P.S.: Zu deiner PN: In Analysis ist das auch ganz gut aufgehoben.

EDIT: Beim linearen auch, da ist das Vorzeichen falsch.

21.05.2006, 20:11

Maumau

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Inwiefern habe ich mich da verrechnet?

$\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{4} (1-x)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{3}{8} (1-x)^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

Was is daran falsch?

Gruß, Kintaro

21.05.2006, 20:14

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Oben hast du $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ geschrieben, das ist zunächst mal

$\begin{eqnarray*} f(x)= (1-x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Wieso betrachtest du jetzt ein anderes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ???

21.05.2006, 20:17

Maumau

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also....

Ich soll das ganze für ne Mathe GFS machen.
Dabei soll ich mich nur auf die Seiten unseres Mathebuches beziehen!!!

Und die machen das so, dass sie eine Funktion 5. Grades nehmen.
Dann die 5 Ableitungen machen.
Dasselbe dann mit der Sinusfunktion.
Beides gleichsetzten und somit die a's bekommen!!!

Dann die a's in die Funktion 5. Grades einsetzten und daraus dann eine
Taylorreihe entwickeln!

Nun habe ich aber nicht die Sinusfunktion sondern oben genannte Funktion!

Gruß, Maumau

21.05.2006, 20:20

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Das ist keine Antwort auf meine Nachfrage. unglücklich

21.05.2006, 20:26

Maumau

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aso^^

Das oben genannte f(x) ist schon die 2. Ableitung!!!^^

Die a's stimmen übrigens tatsächlich net^^
Das hier sind die neuen a's im Angebot...

$\begin{eqnarray*} p5(x)= 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+ \frac{1}{16} x^3-\frac{15}{304} x^4+\frac{105}{3840}x^5 \end{eqnarray*}$

Gruß, Maumau

21.05.2006, 20:56

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Also wenn statt $\begin{eqnarray*} \frac{15}{304}x^4 \end{eqnarray*}$ dort $\begin{eqnarray*} \frac{15}{384}x^4 \end{eqnarray*}$ steht, dann wäre es aber die richtige Entwicklung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ , nicht die von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die Brüche lassen sich z.T. noch kürzen. Wenn du aber ein allgemeines Gesetz für die Koeffizienten finden willst, ist das zugegebenermaßen nicht unbedingt anratsam.

21.05.2006, 21:00

Maumau

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Könntest du mir vllt. die ersten 5 a's nennen?
Denn ich komm alleine nicht weiter^^

Und nur mit dem Hinweis, dass es falsch ist, komm ich auch net drauf^^

Stimmen die forderen a's denn?

Gruß, Kintaro

21.05.2006, 21:04

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Wenn ich sage, dass

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+ \frac{1}{16} x^3-\frac{15}{384} x^4+\frac{105}{3840}x^5 \end{eqnarray*}$

die richtige Entwicklung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ bis zur fünften Potenz ist, dann ist das doch auch eine Antwort! Da musst du nämlich nur statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ einsetzen, und erhältst die Entwicklung

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2- \frac{1}{16} x^3-\frac{15}{384} x^4-\frac{105}{3840}x^5 \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ . Also nicht so früh aufgeben!

21.05.2006, 21:09

Maumau

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Das mit 384 stimmt^^
Hab mich bloß verguckt^^

Aber wieso sind bei

und

verschiedene Reihen?
Im Entwicklungspunkt a bzw. x=0 müsste das doch gleich sein, oder?

Gruß, Maumau

21.05.2006, 21:12

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ ist keine gerade Funktion, d.h. es gilt nicht $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Also können auch die Taylorreihen nicht gleich sein - wie kommst du drauf? geschockt

21.05.2006, 21:14

Maumau

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Für den Entwicklungspunkt a=0 setzten die in dem Buch für X null ein!!!

So kommen die auf ihre a's und das, was unter der Wurzel steht, wäre dann nur 1!

Gruß, Maumau

21.05.2006, 21:17

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Die Taylorreihe beschreibt aber die Funktion in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , nicht nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ selbst!!!

Also was soll der Unsinn, aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ (was übrigens immer gilt) auf $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schließen zu wollen? Vergiss es.

21.05.2006, 21:21

Maumau

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Dann versteh ich aber immer noch net, wie ich dann auf die a's meiner
Funktion komme...

Sry, dass es so lang dauert, aber ich bin heut den ganzen Tag dran gesessen
und habs nicht herausbekommen^^

21.05.2006, 21:23

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Ich weiß es auch nicht, wenn du uns den Rechenweg nicht nennst...

21.05.2006, 21:29

Maumau

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Das habe ich doch vorhin^^

Also ich stelle die 1. fünf Ableitungen der Funktion auf!
Stelle gleichzeitig die ersten 5 Ableitungen einer ganzrationalen Funktion 5.
Grades auf, setzte diese mit denen der Funktion gleich.
Um die a's herauszubekommen, setzte ich für x den Entwicklungspunkt ein.

Aber anscheinend ist das ja falsch...

Wie sollte ich es denn stattdessen machen?
Und wie sieht die Taylorreihe von

aus?

Gruß, Maumau

21.05.2006, 22:03

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Zitat:

Original von Maumau
Das habe ich doch vorhin^^

Nein, hast du nicht: Du hast die ausgerechnete Reihe genannt, aber nicht den Rechenweg dahin, also die einzelnen Ableitungen. Und da liegt irgendwo der Fehler. Aufgrund des falschen Vorzeichens würde ich auf vergessene Kettenregel o.ä. tippen.

21.05.2006, 22:20

Maumau

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$\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{2} (1-x)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= -\frac{1}{4} (1-x)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{1}{8} (1-x)^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''''(x)=-\frac{15}{16} (1-x)^{-\frac{7}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''''(x)=\frac{105}{32} (1-x)^{-\frac{9}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p5(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p5'(x)= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p5''(x)= 2a_2+6a_3x+12a_4x^2+20a_5x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p5'''(x)= 6a_3+24a_4x+60a_5x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p5''''(x)= 24a_4+120a_5x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p5'''''(x)= 120a_5 \end{eqnarray*}$

Nun setzte ich für x null ein!!!

$\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=-\frac{1}{4}/2=-\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{3}{8}/6=\frac{3}{48} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=-\frac{15}{16}/24=-\frac{15}{384} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_5=\frac{105}{32}/120=\frac{105}{3840} \end{eqnarray*}$

Das ist der Rechenweg, den du aber widerlegt hast!!!
Also wie komme ich darauf?

Gruß, Maumau

21.05.2006, 22:22

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Da habe ich ja richtig getippt:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Aufgrund des falschen Vorzeichens würde ich auf vergessene Kettenregel o.ä. tippen.

Startend bereits mit der ersten Ableitung!

21.05.2006, 22:26

Maumau

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Sry. aber kannst du mir die nochmal kurz erklären?^^
Das is schon so lange her...

21.05.2006, 22:45

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Die erste Ableitung ist

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2} (1-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot [-x]' = = \frac{1}{2} (1-x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-1) = -\frac{1}{2} (1-x)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

22.05.2006, 16:19

Maumau

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Okay... dann hat sich das mit den Vorzeichen ja erledigt^^
Habs verstanden, thx!

Wie komme ich jetzt aber auf das n-te Restglied?
Ist die taylorreihe vllt. zusammengesetzt?

Gruß, Maumau

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