Anzahl von Kugeln in Gefäß

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JayT Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl von Kugeln in Gefäß
Einem Gefäß, das n Kugeln unbekannter Farbe enthält, werde auf gut Glück eine Kugel entnommen. Sie sei weiß und werde in das Gefäß zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gefäß lauter weite Kugeln enthält, wenn vor Ziehen der ersten Kugel alle Annahmen über die Anzahl der weißen Kugeln gleichwahrscheinlich waren? Betrachten Sie zur Kontrolle den Sonderfall n = 1.

Meine Idee:

Da vor dem Ziehen alle Annahmen über die Anzahl der weißen Kugel gleichwahrscheinlich sein sollen, ist

,

wenn das Ereignis "i Kugeln sind weiß" ist, denn von 0 bis n Kugeln ist alles möglich, daher n+1.
Nun wird eine Kugel gezogen, die weiß ist und zurückgelegt. Daher scheidet nun die Möglichkeit, dass es 0 weiße Kugeln sind, aus. Alle anderen Fälle müssten jedoch noch gleichwahrscheinlich sein.

Ergo: .

Würde mich über Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge sehr freuen,

viele Grüße,

Jay
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deiner zweiten Formel darf links nicht stehen, sondern man sucht die bedingte Wahrscheinlichkeit , wobei das Ereignis sei, daß die gezogene Kugel weiß ist. Aber dein Ergebnis scheint mir auch nicht zu stimmen.
Das ist nämlich der gute alte Bayes. Aber wie auch immer - man braucht ihn nicht! Stelle die Situation an einem Baum dar. An den Ästen der ersten Stufe stehen die Zahlen , welche die Anzahl der weißen Kugeln angeben. Jede Möglichkeit tritt mit Wahrscheinlichkeit ein, wie du richtig erkannt hast. Und von jeder dieser Möglichkeiten führen zwei Äste weg, einer zu (gezogene Kugel ist weiß), einer zu (gezogene Kugel ist nicht weiß). Was für bedingte Wahrscheinlichkeiten müssen da an den beiden Ästen in jedem der Fälle stehen?
Dann kannst du zunächst berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten für alle Pfade, die zu führen, addierst. Und schließlich brauchst du noch , wofür nur ein Pfad steht. Und schließlich

JayT Auf diesen Beitrag antworten »

wunderbar, danke schön!

habs gecheckt!

für alle, die es interessiert:

lösung ist . rechenweg: der genannte baum kombiniert mit dem satz von bayes!
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