Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit der Abweichung

23.08.2008, 14:17

JayT

Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit der Abweichung

Die 32 Karten eines Kartenspiels werden folgendermaßen bewertet:
4 Asse mit je 11 Punkten,
je 4 Könige, Damen, Buben und Zehnen mit je 10 Punkten und
je 4 Neunen, Achten und Siebenen mit 0 Punkten.

Zwei Karten werden zufällig ausgewählt und verdeckt in den "Skat" gelegt. Die Zufallsvariable X sei die Summe der Bewertungszahlen beider Karten im "Skat"

Alle Mitspieler können den "Skat ersteigern". Der Höchstbietenden zahlt sein "Gebot" als Einsatz und erhält nach Aufdecken des Skats die Summe der Bewertungspunkte in EUR ausgezahlt.
i) Bis zu welchem Betrag sollten Sie mitbieten, wenn die erwartete Auszahlung höher als der Einsatz sein soll?

ii) Bis zu welchem Betrag sollten Sie mitbieten, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn höher als der Einsatz ist, größer als 1/2 sein soll?

Meine Lösung:

i) Man sollte bis kurz unter den Erwartungswert mitbieten. Dieser ergibt sich (da X hypergeometrisch verteilt ist), recht einfach zu E(X) = 12,74. Also sollte man ca. bis 12,73 EUR mitbieten.

ii) Hier habe ich leider nur eine Vorstellung. Zum Beispiel könnte man mit Hilfe der Chebychev-Ungleichung versuchen, zu bestimmen, wie stark X vom Erwartungswert abweichen darf, sodass P > 1/2 ist. Jedoch könnte ich dies nicht richtig formulieren, daher denke ich, dass das falsch ist.

Für eine Idee wäre ich sehr dankbar!

Viele Grüße

23.08.2008, 14:44

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit der Abweichung

Zitat:

Original von JayT
da X hypergeometrisch verteilt ist

Wie kommst du denn auf die Idee? Nein, das stimmt nicht. unglücklich

23.08.2008, 14:53

JayT

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit der Abweichung
mein gedankengang war der folgende:

die möglichen punkteverteilungen sind (a = pkt. erste karte, b = pkt. zweite karte, X = a+b):

a | b | X
-------------------
11 | 11 | 22
11 | 10 | 21
11 | 0 | 11
10 | 10 | 20
10 | 0 | 0
0 | 0 | 0

die wahrscheinlichkeiten für die punkzahlen habe ich exemplarisch so berechnet:

$\begin{eqnarray*} P(X=21) = \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 32 \\ 2 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Daher dachte ich an ein hypergeometrischer Verteilung. jedenfalls habe ich so alle P(X=a+b) berechnet und komme dann auf E(X) = 12,74.

23.08.2008, 14:58

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen lautet die korrekte Rechnung für 21=11+10 Punkte

$\begin{eqnarray*} P(X=21) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{16}{1}}{\binom{32}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Und zum anderen kannst du nicht einfach jede Wahrscheinlichkeiten der Struktur "Quotient aus Binomialkoeffizienten" als hypergeometrische Verteilung bezeichnen. Das ist in etwa so, als wenn du jedes Gerät mit einem Rad als Auto bezeichnest. Finger1

23.08.2008, 15:04

JayT

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, hatte mich in dem binomialkoeff. vertippt!

gut, danke für den hinweis, dann bin ich in zukunft mit der bezeichnung vorsichtiger! Augenzwinkern

aber mit aufgabe ii) hilft mir das leider noch nicht weiter.. unglücklich

23.08.2008, 15:07

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal kann man mal die Punktzahlen auflisten, die als Summe zweier Kartenwerte überhaupt nur möglich sind - das sind

0 , 10 , 11 , 20 , 21 , 22

Und für alle diese Punktzahlen kannst du eine Berechnung wie eben durchführen.

Und wieso redest du immer von 12,74 ? Scheint ein Rundungsfehler zu sein, wahrscheinlich basierend auf dieser schlechten Angewohnheit, mit gerundeten Zahlen statt wie es sich gehört mit exakten Brüchen zu rechnen. Forum Kloppe

Der exakte Erwartungswert ist $\begin{eqnarray*} \frac{51}{4} = 12{,}75 \end{eqnarray*}$ .

26.08.2008, 12:13

JayT

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit der Abweichung

Zitat:

Original von JayT

ii) Bis zu welchem Betrag sollten Sie mitbieten, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn höher als der Einsatz ist, größer als 1/2 sein soll?

hat jemand dazu vielleicht eine idee? Gott

26.08.2008, 13:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstelle, wie von Arthur vorgeschlagen, eine Tabelle, am besten so:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} k & | & 0 & 10 & 11 & 20 & 21 & 22 \\ 496 \cdot P(X=k) & | & & & & & & \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die Frage, was unter dem Gewinn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zu verstehen ist. Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Einzahlung ist, ist dann $\begin{eqnarray*} G = X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} G = X-a \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Hier ist wohl das erste gemeint, während man sonst unter Gewinn eher das zweite versteht. Aber ich bin kein ausgewiesener Glücksspielexperte ...

Wie auch immer, du mußt jetzt eigentlich nur noch die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} P(G>a) > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

lösen. Welcher Wert für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ geeignet ist, kannst du durch Addition von links in der zweiten Zeile der obigen Tabelle herausfinden.

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit der Abweichung

Verwandte Themen