polynom 3. grades ermitteln

23.08.2008, 14:59

helga2000

polynom 3. grades ermitteln

hallo!

ich habe mal eine frage, ist es möglich ein polynom 3. grades an hand der extremwerte(sprich hochpunkt - tiefpunkt) zu ermitteln?
falls es gehen sollte könnte mir vll jemand einen lösungsansatz bzw eine lösung geben? smile

vielen dank schon mal im vorraus

23.08.2008, 15:00

tigerbine

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RE: polynom 3. grades ermitteln
Kommt darauf an wie viele man kennt. Denn du brauchst 4 Informationen um das Polynom zu bestimmen.

23.08.2008, 15:07

helga2000

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ich habe hoch und tiefpunkt.
welche 4 informationen bräucht ich denn?

23.08.2008, 15:13

tigerbine

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Wie viel Informationen steckt denn in diesen zwei besonderen Punkten? Idee!

$ Gleichungen braucht du eben, das kann von Aufgabe zu Aufgabe unterschiedlich sein. Gib doch mal ein Beispiel, dann rechnen wir es.

23.08.2008, 15:16

helga2000

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ja okay das mit den informationen hab ich jetzt gecheckt Big Laugh

P1(x1/y1) P2(x2/y2) oder?

aber wie nun weiter? o0

edit:

mal angenommen HP(1/10) TP(12/3)

23.08.2008, 15:24

tigerbine

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Och männo, nun soll ich das auch noch allgemeingültig rechnen. geschockt

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_x^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3a_x^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

Nun setzten wir halt die Punkte ein. Sortieren was um:

$\begin{eqnarray*} y_1=x_1^3a+x_1^2b+x_1c+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2=x_2^3a+x_2^2b+x_2c+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x_1^2a+2x_1b+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x_2^2a+2x_2b+c \end{eqnarray*}$

Wir basteln uns ein LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1^3 & x_1^2 & x_1 & 1 \\x_2^3 & x_2^2 & x_2 & 1 \\ 3x_1^2 & 2x_1& 1& 0 \\ 3x_2^2 & 2x_2& 1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_1 \\y_2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und lösen das nun. Teufel

Kannste ja mal mit deinen Wrten machen.

23.08.2008, 15:39

helga2000

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okay wie ich sehe hast du viel ahnung davon, was schon mal gut ist Augenzwinkern

aber verstehen tu ich das was du geschrieben hast irgendwie nich(sry bin nur ein kleines mädchen was noch nicht so viel ahnung von der grossen mathematik hat Augenzwinkern

)

könntest du das vll ein bisschen genauer beschreiben oder zeigen?

23.08.2008, 15:43

tigerbine

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Kleines Mädchen? hinter dem Namen habe ich die Mutter der Nation vermutet Big Laugh

(Sorry, nicht böse gemeint)

1. Weißt du das ein lineares Gleichungssystem ist?
2. Kennst du den Gaußalgorithmus?

Sonst bitte abarbeiten: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Dann einmal den vom Lösungsverfahren unabhängigen allgemeinen Ansatz:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y_1=x_1^3a+x_1^2b+x_1c+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2=x_2^3a+x_2^2b+x_2c+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x_1^2a+2x_1b+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x_2^2a+2x_2b+c \end{eqnarray*}$

Auf deine konkrete Aufgabe übertragen. Warum habe ich denn diese Gleichungen gewählt?

edit:

Ich melde mich mal ab. Du kannst die Lösung deines LGS auch mit einen Tool überprüfen http://www.mathetools.de/

23.08.2008, 16:43

helga2000

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sry ich bekomms voll nicht hin ;-(

23.08.2008, 17:47

Felix

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Wo genau liegt dein Problem ??

Mit deinen angenommen Werten ( HP(1/10) TP(12/3) ) würde es
so funktionieren :

1) Das allgemeine Polynom und dessen Ableitung

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_x^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3a_x^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

2) Welche Informationen hast du ?

a) Der Hochpunkt ist Punkt der Funktion --->

f(1) = a + b + c + d = 10

b) f´(1) = 0, da dort ja ein Hochpunkt ist --->

f´(1) = 3a + 2b + c = 0

c) Der Tiefpunkt ist Punkt der Funktion --->

f(12) = 12³a + 12²b + 12c + d = 3

d) f´(12) = 0, da dort ja ein Tiefpunkt ist --->

f´(12)= 3 * 12² * a + 24b + c = 0

Jetzt hast du 4 Gleichungen die du auflösen kannst. Wenn du nicht weißt wie zuerst mal den Link von tigerbine anschauen und wenn du was nicht verstehst kannst du ja noch fragen smile

.

lg

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