Betragsaufgabe lösen

23.08.2008, 18:57

_Vic_

Betragsaufgabe lösen

Moin Moin,

ich wollte in meiner vorlesungsfreien Zeit ein wenig an meinen Defiziten arbeiten und beschäftige mich deshalb mit dem Thema Betrags(un)gleichungen.
Leider hatten wir das nie in der Schule und deshalb ist das ein wenig mühselig alles nachzuvollziehen, also korrigiert mich, falls ich falsche Schlüsse ziehe.

Nun denn, ich wollte die folgende Ungleichung lösen:
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x}{x+1} \mid < 1 \end{eqnarray*}$
Das kann ich wie folgt umwandeln:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mid x \mid}{\mid x+1 \mid} < 1 \end{eqnarray*}$

Nun dachte ich mir, dass man 4 Fallunterscheidungen durchführen kann.

Fall 1.1:
$\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < 1 \end{eqnarray*}$
Das heißt, für x > 0 trifft dieser Fall immer zu.

Fall 1.2:
$\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid < 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$
An sich habe ich hier ja schon meinen ersten Widerspruch, da x nicht positiv und gleichzeitig kleiner als -1 sein kann.
Gerechnet habe ich das dennoch, da ich mir nicht sicher bin, wann man genau das größer/kleiner vertauschen bzw. wie man das Minus handeln muss. Ich bitte da um einen kleinen Hinweis smile

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{-x-1} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x > -x - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x > -1/2 \end{eqnarray*}$
An sich, ist es das gesuchte Ergebnis, aber es stimmt nicht mit der Fallbetrachtung überein. Also habe ich weitergerechnet.

Fall 2.1:
$\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-x}{x+1} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x < x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x > -1/2 \end{eqnarray*}$
Hier, das gleiche Ergebnis wie bei 1.2. Dieses mal jedoch stimmen auch die Bedingungen überein. Also, gültiges Resultat.

Fall 2.2:
$\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid < 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-x}{-(x+1)} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < 1 \end{eqnarray*}$
Was mich hier irritiert ist, dass die Aussage richtig scheint, aber wenn man sich den dazugehörigen Graphen anschaut, liegt alles unter -1 über 1 und ist somit falsch. Wo ist hier mein Fehler?

Gruß und danke für die hoffentlich zahlreichen Antworten,

Vic

PS:
Hat jemand vielleicht noch ein schönes Howto für mich, wo alles schön erklärt steht?

23.08.2008, 20:03

Calvin

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RE: Betragsaufgabe lösen
Der Ansatz mit den Fallunterscheidungen ist schonmal richtig.

Fal 1.1 ist auch richtig.

Zitat:

Original von _Vic_
Fall 1.2:
$\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid < 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$
An sich habe ich hier ja schon meinen ersten Widerspruch, da x nicht positiv und gleichzeitig kleiner als -1 sein kann.

Gerechnet habe ich das dennoch...

Brauchst du nicht. Wie du schon festgestellt hast, kann x nicht gleichzeitig positiv und kleiner als -1 sein. Dieser Fall tritt also für kein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ auf.

Zitat:

Fall 2.1:
Dieses mal jedoch stimmen auch die Bedingungen überein. Also, gültiges Resultat.

Was meinst du damit? Die Rechnung ist richtig. Nur die Deutung des Ergebnisses kommt nicht klar rüber.

Bei Fall 2.2 ist ein Fehler drin.

Zitat:

Fall 2.2:
$\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid < 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass Fall 2.2 nur für $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ gilt

[quote $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < x + 1 \end{eqnarray*}$ [/quote]
In diesem Schritt multiplizierst du die Ungleichung mit (x+1). Hier musst du $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ berücksichtigen. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} (x+1)<0 \end{eqnarray*}$ . Siehst du den Fehler jetzt selbst?

EDIT
Ein weiterer guter Ansatz wäre es, die gesamte Ungleichung zu quadrieren. Damit fallen die Betragsstriche weg und man kann eine einfache Ungleichung lösen.

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{|x+1|}<1\qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{x^2}{(x+1)^2}<1^2 \end{eqnarray*}$

23.08.2008, 20:20

_Vic_

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Zitat:

Was meinst du damit? Die Rechnung ist richtig. Nur die Deutung des Ergebnisses kommt nicht klar rüber.

Ich habe mich da auf den Fall 1.2 bezogen, wo das gleiche Ergebnis herauskam, jedoch passte da der Definitionsbereich nicht mit dem Ergebnis überein.

Zitat:

Siehst du den Fehler jetzt selbst?

Ich bin mir jetzt nicht sicher. Da $\begin{eqnarray*} x+1 < 0 \end{eqnarray*}$ gilt, muss bei der Multiplikation mit diesem Ausdruck auch das < in ein > umgedreht werden? Wolltest du darauf hinaus?

23.08.2008, 20:36

Calvin

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Zitat:

Original von _Vic_
Ich habe mich da auf den Fall 1.2 bezogen, wo das gleiche Ergebnis herauskam, jedoch passte da der Definitionsbereich nicht mit dem Ergebnis überein.

Ja, das meinte ich. Aber du musst letztendlich auch genau sagen, in welchem Fall für welche x-Werte die Ungleichung gilt.

Im Fall 1.1 gilt die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , im Fall 2.1 für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}<x<0 \end{eqnarray*}$ (dabei fällt mir ein, den Fall x=0 hast du nirgends abgedeckt. Den würde ich in 1.1 hinzunehmen.

Zitat:

Siehst du den Fehler jetzt selbst?

Da $\begin{eqnarray*} x+1 < 0 \end{eqnarray*}$ gilt, muss bei der Multiplikation mit diesem Ausdruck auch das < in ein > umgedreht werden? Wolltest du darauf hinaus?[/quote]

Genau das meinte ich Freude

23.08.2008, 22:03

_Vic_

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Super, vielen Dank für die Hilfe Freude

23.08.2008, 22:26

_Vic_

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Ich nochmal,

dachte ich hätte das verstanden, aber eine Unklarheit hat sich nochmal aufgetan.
Also die Logik, dass $\begin{eqnarray*} \mid x + 1 \mid < 0 \end{eqnarray*}$ eine Umkehr von < zu > erfolgen muss, erschließt sich mir wohl.
Aber ich dachte dadurch, dass ich $\begin{eqnarray*} -(x+1) \end{eqnarray*}$ sage, hätte ich das schon behandelt.
Das - kürzt sich ja mit dem aus dem Zähler weg, weil $\begin{eqnarray*} \mid x \mid < 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Wenn ich jetzt nochmal das Verhältnis drehe, dann würde man das doch 2x, also einmal zu viel machen, oder etwa nicht?

23.08.2008, 22:39

Calvin

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Nach dem Auflösen der Betragsstriche machst du alle weiteren Umformungen mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ . Ob sich irgendwann ein Minuszeichen wegkürzt ist dabei vollkommen unerheblich.

24.08.2008, 11:57

_Vic_

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Achso,ich muss also 2x die Fallunterscheidung vornehmen.
Einmal für die Beträge und einmal, ob die Terme größer oder kleiner 0 sind.

24.08.2008, 14:00

Calvin

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Du hast nur eine Fallunterscheidung, nämlich beim Auflösen des Betrags. Alle Rechnungen danach gelten jeweils für genau die x-Werte, für die du den Betrag aufgelöst hast.

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