0-Stelle nicht berechenbar?

23.08.2008, 22:19

Gaspel

0-Stelle nicht berechenbar?

Hi ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe:

0=2X+2*e^2x+2
-2x=2*e^2x+2
x=-e^2x+2

so jetzt müsste man eigentlich ln machen, das geht aber irgendwie nicht. aber eine 0-stelle ist vorhanden, ich habs mit dem taschenrechner überprüft.

bin für jede art von hilfe dankbar

mfg

23.08.2008, 23:28

tigerbine

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RE: 0-Stelle nicht berechenbar?
$\begin{eqnarray*} 0=2x+2e^{2x}+2 \end{eqnarray*}$

Das geht nur mit Näherungsverfahren.

24.08.2008, 00:03

Gaspel

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Also mit dem Näherungsverfahren heißt das, dass ich z.B. x=-2 und x=1 einsetze und falls dort ein Vorzeichenwechsel stattfindet, muss die 0-Stelle dazwischen liegen und dann grenze ich weiter ein?

@tigerbiene: die +2 am ende gehört noch mit in den Exponent nach oben, also so:

0=2x+2*e^(2x+2)

24.08.2008, 00:10

tigerbine

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Alright, aber das ändert am Lösungsansatz nichts.

$\begin{eqnarray*} 0=2x+2e^{2x+2} \end{eqnarray*}$

Wir können eine 2 rausschmeißen.

$\begin{eqnarray*} 0=x+e^{2x+2} \end{eqnarray*}$

Bisektion wäre ein Ansatz. Plotten wir das ganze doch mal. Ein Plot ist ja im Grunde nur "malen nach Zahlen" nur dass wir eben eine große Wertetabelle haben.

Da haben wir den Burschen ja schon eingegrenzt. Kann es noch weitere Nullstellen geben? Nein, denn die Funtkion ist streng monoton wachsend.

24.08.2008, 00:41

Gaspel

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ja wobei dein graph falsch ist, denn du hast 2*x+e^(2x+2) gezeichnet, du müsstest aber x+e^(2x+2) zeichnen:

dann wäre x=-1 die einzige 0-Stelle.

aber wie bringe ich das nun ordentlich zu papier? einfach schreiben x=-1 ist 0-Stelle geht ja auch nicht :-)

24.08.2008, 01:05

tigerbine

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Und manchmal geht es eben doch. Augenzwinkern

du musst in einem Beweis nicht angeben, wie du die Lösung gefunden hast, aber merk dir unsere Idee mal für den Fall, dass es nicht so glatt läuft.

$\begin{eqnarray*} 0=x+e^{2x+2} \end{eqnarray*}$ (*)

oder eben

$\begin{eqnarray*} -x = e^{2x+2} \end{eqnarray*}$

Hier ist es geschicktes Hinsehen und das wissen

$\begin{eqnarray*} e^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Du kannst aber einfach schreiben: Für x=-1 ist die Gleichung (*) erfüllt. Betrachtet man die rechte Seite von (*) als Funktion, so gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x+e^{2x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) =1 + e^{2x+2} \cdot 2 > 0 \end{eqnarray*}$

Daher ist die Funktion auf ganz IR streng monoton steigend und es kann keine weiteren Lösungen der Gleichung (*) geben, da f keine weiteren Nullstellen besitzt.

OT: Danke, ich habe den Graphen editiert.