blöde frage, dichtefunktion

22.05.2006, 15:14

lego

blöde frage, dichtefunktion

hallo

ich habe eine dichtefunktion gegeben, die so aussieht

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-c x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
0, sonst

ich soll c bestimmen, hab ich gemacht, ist 4/9

und nun soll ich $\begin{eqnarray*} P(3 \leq X \leq 8) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X >10) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X=10) \end{eqnarray*}$ bestimmen

aber die funktion ist doch 0 für x >3/2, sind die wahrscheinlichkeiten dann 0?

22.05.2006, 15:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Übrigens eine hübsche Fangfrage. Augenzwinkern

22.05.2006, 15:24

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, danke, noch eine schnelle (oder weniger schnelle) frage, ich soll die quartile berechnen, dazu setze ich mein integral gleich 1/4 , 1/2, 3/4 und lasse es von 0 bis quartil laufen, dann berechne ich mein quartil

ich bekomme da jeweils ein polynom dritten grades raus, dessen nullstelle(n) ich berechnen müsste

interessanterweise habe ich laut mathematica lauter komplexe nullstellen, was 1. seltsam ist, weil ich nicht glaube, dass das im sinne des aufgabenstellers ist, 2. gibts doch einen satz, der besagt, dass polynome ungeraden grades mit reellen koeffizienten mindestens eine reelle nullstele haben

was ist da falsch?

edit: polynom:

27q-4q^3-27/4=0

22.05.2006, 15:28

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lego
2. gibts doch einen satz, der besagt, dass polynome ungeraden grades mit reellen koeffizienten mindestens eine reelle nullstele haben

Das ist richtig, schau dir also das Mathematica-Ergebnis nochmal genau an.

Hier ist es sogar so, dass wegen $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x)=\int\limits_{-\infty}^x ~ f(t) ~\mathrm{d}{t} \end{eqnarray*}$ in eben diesem Intervall streng monoton wachsend ist, damit gibt es jeweils genau eine reelle Nullstelle bei deinen kubischen Gleichungen in diesem Intervall.

22.05.2006, 15:39

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ok ich hab mir die nullstellen noch mal angeschaut, eine scheint wirklich komplett reell zu sein, mathematica dürfte da ein numerisches verfahren benutzen, welches auch mal seine ergebnisse in a+0*i anschreibt Forum Kloppe

lustigerweise habe ich eine zweite nullstelle, die zwar komplex ist, deren imaginärteil aber so klein ist, dass man beim einsetzen des realteiles ebenfalls ds selbe ergebnis bekommt

meine ergebnisse sind also:

2.462675291179389

und

0.25238160267154097 + 2.220446049250313*10^-16 i

ich nehme zwar die erste aber wenn man eben nur

0.25238160267154097

einsetzt bekommt man auch 0.25 fürs integral, seltsam irgendwie

die dritte nullstelle ist zwar ähnlich hat aber einen negativen realteil, also sowieso außen vor zu lassen

edit: blödsinn, die erste liegt ja nicht in meinem bereich von 0 bis 3/2, also doch die komplexe

22.05.2006, 15:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nochmal nachgeschaut, beide Gleichungen haben tatsächlich drei reelle Lösungen, aber relevant sind ja nur die im Intervall von 0 bis 3/2, und da ist es jeweils nur eine. Nach den Cardanischen Formeln für diesen Fall ergeben sich die exakten Darstellungen

$\begin{eqnarray*} x_{1/4} = -3\cos\left( \frac{\displaystyle \arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + \pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{3/4} = -3\cos\left( \frac{\displaystyle \arccos\left( -\frac{3}{4} \right) + \pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$ .

22.05.2006, 15:52

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

jep, danke, sind die ergebnisse des realteils meiner nullstellen aus mathematica, also sind die imaginärteile mit 10^-16i zu vernachlässigen

22.05.2006, 15:54

Auf diesen Beitrag antworten »

Genaugenommen gilt sogar für die gesamte Quantilfunktion:

$\begin{eqnarray*} x_{\alpha} = F^{-1}(\alpha) = -3\cos\left( \frac{\arccos(-\alpha) + \pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Kann man auch noch etwas netter umschreiben:

$\begin{eqnarray*} x_{\alpha} = 3\cos\left( \frac{\arccos(\alpha)+\pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$

22.05.2006, 16:19

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

danke sehr

jetzt noch eine frage, ich habe da ein anderes beispiel, bei dem ihc mit der terminologie nicht ganz zu recht komme

Die Dichte einer diskreten Verteilung auf den ganzen Zahlen von -3 bis 3 habe die Form:

$\begin{eqnarray*} y=-c*x^2*(x^2-16) \end{eqnarray*}$ für passendes c.

bestimmen sie c.

Wieso nennt er das Dichte, bis jetzt hatten wir immer nur Verteilungsfunktion, wenn wir von diskreten Zufallsvariablen sprachen und Dichten bei stetigen, ist da das selbe gemeint, darf man das so sagen?

wenn ja, würde ich c bstimmen durch:

$\begin{eqnarray*} 1=\sum_{k=-3}^3~y_k \end{eqnarray*}$ auflösen nach c

oder?

22.05.2006, 16:23

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ohne Maßtheorie ist der Begriff "Dichte" in diesem Zusammenhang wirklich etwas schwer zu verstehen. Gewöhnlich sollte man da wirklich eher von "Einzelwahrscheinlichkeiten" sprechen.

Da ich es aber nun angedeutet habe: Im Sinne einer Radon-Nikodym-Dichte hinsichtlich des Zählmaßes ist der Begriff Dichte für diese Einzelwahrscheinlichkeiten durchaus vertretbar. Augenzwinkern

P.S.: Der Ansatz mit der Summe ist richtig. Freude

22.05.2006, 16:28

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

super, danke

Neue Frage »

Antworten »

blöde frage, dichtefunktion

Verwandte Themen