[Artikel] Leontief-Modell

24.08.2008, 02:55

tigerbine

[Artikel] Leontief-Modell

Da die Frage doch immer mal wieder auftaucht und google zu dem Thema etwas müssig ist, habe ich mal ein wenig was zusammengetragen.

24.08.2008, 02:56

tigerbine

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Beispielrechnung 1

Zitat:

In den 3 Zweigwerken Z1, Z2 und Z3 eines großen Betriebes wird jeweils für die beiden anderen Zweigwerke und für den Eigenverbrauch produziert. Die folgende Tabelle gibt die Produktionszahlen in Mengeneinheiten ( ME ) an. Sie beziehen sich auf 1 Produktionsperiode. Die gegenseitige Abhängigkeit der Zweigwerke wird durch das Leontief-Modell beschrieben.

Berechnen Sie die Inputmatrix nach dem Leontief-Modell.

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||c|c|c||c|} \hline \text{Input vs Output} & \text{Z1} & \text{Z2} & \text{Z3} & \text{Endverbrauch} \\ \hline\hline \text{Z1} & 0 & 10 & 10 & 10 \\ \hline \text{Z2} & 10 & 0 & 10 & 40 \\ \hline \text{Z3} & 0 & 30 & 0 & 30\\ \hline \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Was produziert also jedes Werk?

$\begin{eqnarray*} x_1=0+10+10+10 = 30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=10+0+10+40 = 60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=0+30+0+30 = 60 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich die Matrix der Produktionskoeffizienten:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||c|c|c||c|} \hline \text{Input vs Output} & \text{Z1} & \text{Z2} & \text{Z3} & \text{Endverbrauch} \\ \hline\hline \text{Z1} & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 10 \\ \hline \text{Z2} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 40 \\ \hline \text{Z3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 30\\ \hline \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \frac{x_{ij}}{j} \end{eqnarray*}$ im || || Teil geben an, wie viele Einheiten der Güter aus Sektor i benötigt werden, um eine Einheut des Gutes vom Sektor j zu erzeugen. Daher nennt man die Matrix auch Inputmatrix.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vektor x bezeichnet die Gesamtproduktionsmenge der Periode. Hier ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}30 \\ 60 \\ 60 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Vektor y wird der Produktionanteil, der auf den Markt gelangt angegeben (oder auch für den Endverbrauch)

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, wie hängen diese 3 Größen zusammen? Wir setzen voraus, dass sich alle Betriebe in der Periode gleich verhalten, d.h. dass wir aus der ersten Tabelle auch Rückschlüsse auf andere Produktionsmengen schließen können.

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{11} + x_{12} + x_{13} + y_1\\ x_{21} + x_{22} + x_{23} + y_2 \\ x_{31} + x_{32} + x_{33} + y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun mit einem bisschen Wissen über das Rechnen mit Vektoren und Matrizen ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} &&= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{11} + x_{12} + x_{13}\\ x_{21} + x_{22} + x_{23} \\ x_{31} + x_{32} + x_{33} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \\&&= \begin{pmatrix} \frac{x_{11}}{x_1} & \frac{x_{12}}{x_2} & \frac{x_{13}}{x_3} \\ \frac{x_{21}}{x_1} &\frac{x_{22}}{x_2} &\frac{x_{23}}{x_3} \\ \frac{x_{31}}{x_1} & \frac{x_{32}}{x_2} & \frac{x_{33}}{x_3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} && = A\vec{x} + \vec{y} \end{eqnarray*}$
Wieviele Mengeneinheiten stehen für den Endverbrauch zur Verfügung, wenn im 1. Zweigwerk 100 ME, im 2. Zweigwerk 180 ME und
im 3. Zweigwerk 120 ME produziert werden?

Hier kennen wir also x. Gesucht ist y.

$\begin{eqnarray*} \vec{x} &&= A\vec{x} + \vec{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{y} && = \vec{x} - A\vec{x} = (E - A)\vec{x} \\ &&= \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & 1 & -\frac{1}{6} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 180 \\ 120 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss nun ja nur noch ausgerechnet werden:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} && =\begin{pmatrix}50 \\ 126\frac{2}{3}\\30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
In der nächsten Produktionsperiode benötigt man für den Endverbrauch 60 ME vom Werk Z1, 75 ME vom Werk Z2 und 90 ME vom Werk Z3.Berechnen Sie, wieviele ME dann in den einzelnen Zweigwerken produziert werden müssen.

Hier ist also y gegeben, und x gesucht.

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = (E - A)\vec{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & 1 & -\frac{1}{6} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 75 \\ 90 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun muss man eben dieses Gleichungssystem lösen. Nach dem Gaussalgorithmus erhält man:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix}109.5 \\ 138 \\ 159 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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