Lebesgue-messbare Abbildung

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22.05.2006, 18:58

lebesgue

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Lebesgue-messbare Abbildung

Hallo!!

Hab eine Frage, und zwar: Wie kann ich zeigen, dass eine Abbildung Lebesgue-messbar ist??

Danke im Voraus.

22.05.2006, 19:51

Dual Space

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Wie habt ihr denn Lebesgue-Messbarkeit definiert?

*verschoben*

22.05.2006, 20:42

lebesgue

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Lebesgue-messbare Abbildung
Also wir haben Lebesgue-Maß so definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda : \mathbb A_n \to [0;\infty ) \end{eqnarray*}$ der elementargeom. Inhalt. Die eindeutige Maßfortsetzung von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B(\mathbb R^n) = \sigma (\mathbb A_n) \end{eqnarray*}$ heißt das Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda : B(\mathbb R ^n) \to [0;\infty ] \end{eqnarray*}$ .

Edited by Stefan: Lesbar gemacht!

22.05.2006, 20:48

Dual Space

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Gut. Und wie habt ihr denn nun Lebesgue-Messbarkeit definiert?

22.05.2006, 20:56

lebesgue

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Lebesgue-messbare Abbildung
für Lebesgue-Messbarkeit haben wir keine Definition...... unglücklich

22.05.2006, 21:06

Dual Space

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Zitat:

Original von lebesgue
für Lebesgue-Messbarkeit haben wir keine Definition...... unglücklich

Dann sollte es eher schwierig werden, deine Frage zu beantworten.

Aber ihr habt mit Sicherheit irgendeine Messbarkeitsdefinition für Funktionen. Poste doch dann die mal.

22.05.2006, 21:13

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Zitat:

Original von lebesgue
Die eindeutige Maßfortsetzung von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B(\mathbb R^n) = \sigma (\mathbb A_n) \end{eqnarray*}$ heißt das Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda : B(\mathbb R ^n) \to [0;\infty ] \end{eqnarray*}$ .

Hmm, ich kenne das als das (Lebesgue-)Borel-Maß und die zugehörige Messbarkeit als Borel-Messbarkeit. Unter Lebesgue-Sigma-Algebra sowie Lebesgue-Maß versteht man gewöhnlich dann erst die Vervollständigung davon.

Aber zugegeben, da sind sich die einzelnen "Schulen" nicht ganz einig in der Bezeichnerei. Augenzwinkern

Tja, und bei der Borel-Messbarkeit einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist es wie bei jeder anderen Messbarkeit: Die Urbilder aller Borelmengen müssen wieder Borelmengen sein. Es genügt aber auch, die Urbilder eines Erzeugendensystems von $\begin{eqnarray*} B(\mathbb{R}^m) \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

22.05.2006, 21:38

lebesgue

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Lebesgue-messbare Abbildung
ja wir haben messbare Abbildungen definiert:

1) Seien (X,A) und (Y,B) Messräume. Für f: X->Y sei $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ (B*):={x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X: f(x) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B*}, wobei B* $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ P(Y). (P(Y) ist Potenzmenge von Y)
Setze $\begin{eqnarray*} f^{-1} (B) \end{eqnarray*}$ :={ $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ (B*): B* $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B}. Dann heißt f A-B-messbar, fallst $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ (B*) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A (B* $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B)
2) Falls (Y,B) = ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , B`( $\begin{eqnarray*} \mathbb R) \end{eqnarray*}$ , dann heißt die Funktion nur A-messbar.
3) Falls (X, $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ) topologischer Raum, betrachte A=B´(X). f heißt dann Borel-messbar oder messbar. (B´ ist die Borel-Algebra)

22.05.2006, 21:45

lebesgue

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Lebesgue-messbare Abbildung
Also ich hab eine bijektive Abbildung f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , die auch linear ist. Ich muss dann zeigen, dass f(A) $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B´( $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ )Lebesgue-messbar ist. Weiß nicht wie ich vorgehen soll......

22.05.2006, 21:46

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Tja, und viel mehr kann man allgemein erstmal nicht sagen. Natürlich gibt es einige hinreichende Kriterien, wann eine Funktion Borel-messbar ist. Z.B. genügt Stetigkeit, oder sogar nur stückweise Stetigkeit (d.h. mit höchstens abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen). Aber wie gesagt, das ist nur hinreichend, die Klasse der Borel-messbaren Funktionen ist viel größer.

Also geht's noch etwas konkreter mit der Funktionenklasse? Oder genügen dir solche allgemeinen Betrachtungen?

22.05.2006, 21:55

lebesgue

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Ich verstehe nicht ganz...Ist die Aussage dann bewiesen, wenn ich zeige dass die Abbildung stetig ist?? verwirrt

Warum geht das?

22.05.2006, 21:59

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Bei einer stetigen Abbildung ist das Urbild einer offenen Menge wieder offen, und jede offenen Menge ist ja insbesondere auch eine Borel-Menge. Und da die offenen Mengen ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} B(\mathbb{R}^m) \end{eqnarray*}$ bilden, ist man fertig.

22.05.2006, 22:07

lebesgue

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Ok, danke sehr für die Mühe!! Mir ist einiges klar geworden!

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