Farm |
| 24.08.2008, 11:51 | trido | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Farm Kann mir irgenwer bitte helfen oder einen Lösungsansatz geben damit ich es selber rechnen kann. Der Besitzer einer Hühnerfarm hat folgendes Problem: Für jede Fütterung benötigt er einen Vitaminzusatz der 4 Vitaminsorten enthält und zwar: Vitamin 1: mind. 50 Einheiten Vitamin 2: mind 100 Einheiten Vitamin 3: mind 60 Einheiten Vitamin 4 mind 180 Einheiten Zwei Firmen bieten Zusätze zu folgenden Preisen : Firma A : 24.- pro kg Firma B : 32.- pro kg In diesen Vitaminzusätzen sind pro kg folgende Mengen an benötigten Vitaminen(in Einheiten) enthalten: Vitamin 1 Vitamin 2 Vitamin 3 Vitamin 4 Firma A 200 1000 400 1400 Firma B 1000 400 400 800 Wie sind die Vitaminzusätze zu mischen, dass die Hühner die benötigten Vitamine erhalten, aber die Kosten minimal sind ? Wie groß sind die minimalen Kosten für das Zusatzfutter pro Fütterung ? Kann mir hier wer helfen bitte ? mfg trido |
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| 24.08.2008, 16:08 | Huugy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Farm Das ist eine typische Aufgabe der linearen Optimierung. Und wenn du diese Aufgabe lösen sollst, hast du sicher davon einiges gehört. Doch wenn nicht, macht das auch nichts. Man fängt an, wie in der Feuerzangenbowle, stellt sich also erst mal ganz dumm und gibt den benötigten Mengen und den Kosten einen Namen, z. B.: x kg Zusatz von Firma A y kg Zusatz von Firma B z Kosten Die Kosten kannst du jetzt als Funktion von x und y hinschreiben. Das ist deine Zielfunktion (schon gehört?), die minimiert werden soll. Außerdem kannst du jetzt hinschreiben, wieviel Einheiten von jedem Vitaminzusatz das gibt. Da bestimmte Mengen benötigt werden, ergibt das 4 lineare Ungleichungen. Das sind deine Nebenbedingungen für die Minimierung, Dazu kommt noch x >= 0 und y >= 0, da es schwierig ist, negative Mengen zu kaufen. Die Nebenbedingungen grenzen im ersten Quadranten der x-y Ebene ein Gebiet ab, in dem du dich bei der Minimierung der Zielfunktion bewegen musst. Dieses Gebiet zeichnest du dir auf. In das Diagramm zeichnest du noch zur Orientierung eine Gerade ein, auf der z konstant ist, also: z(x,y) = c =konstant c ist beliebig, aber so zu wählen, daß die Gerade im Diagramm liegt. Wenn man sich auf dieser Geraden bewegt, sind die Kosten also konstant. Parallelen zu der Geraden ergeben auf der einen Seite niedrigere und auf der anderen Seite höhere Kosten. Die Gerade ist also parallel in Richtung niedriger Kosten so weit zu verschieben, dass sie das zulässige Gebiet gerade noch berührt. Das ist immer in einem Eckpunkt (oder auf einer ganzen Kante) des zulässigen Gebietes der Fall. Diesen minimierenden Eckpunkt kannst du mit einem Geodreick finden. Dann bestimmst du die Koordinaten dieses Eckpunktes aus den Nebenbedingungen. Und schon hast du das gesuchte x und y. Eingesetzt in die Zielfunktion hast du auch die Kosten. Die Bestimmung des minimierenden Eckpunktes mit dem Geodreieck ist natürlich etwa unmathematisch. Rein mathematisch würde man die Koordinaten aller Eckpunkte bestimmen, für jeden die Zielfunktion berechnen und dann den nehmen, der den kleinsten Wert der Zielfunktion ergibt. Dieses Verfahren lässt sich noch optimieren, was besonders wichtig ist, wenn man mehr als zwei Dimensionen und viele Nebenbedingungen hat. Das muss dich aber für diese Aufgabe nicht kümmern. Und jetzt leg mal los!!! |
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| 24.08.2008, 19:18 | trido | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lineare Optimierung Hallo und dankeschön mal für die vielen Infos. Also ich habe mich gleich mal ran gemacht und komm leider nicht weiter 
Zielgleichung : 24x +32y -> minimal Ungleichungen: I : 200x + 1000y >=50 II: 1000x + 400y >=100 III:400x + 400y >=60 IV:1400x + 800y >=180 V: x>= 0 VI: y>= 0 y= -24x/32 y= -0,75x Kmin
III) ^ (IV)400x + 400y =60 (*-2) 1400x+800y=180 ------------------------------------ -800x - 800y=-120 1400x+800y=180 ---------------------------------- 600x=60 x=0,1 400*0,1+400y=60 y=0,05 Laut meinen Aufzeichnungen sollte ich x und y in die Zielfunktionen einsetzen und somit die minimalen Kosten heraus bekommen. Da ich aber eine richtige Lösung (nur Zahl) habe weiß ich nicht was ich falsch gemacht habe weil es nicht übereinstimmt. Kann mir bitte jemand helfen ? Wo sind die Fehler ? Stimmen die Ungleichen bzw die Zielfunktion überhaupt ? Danke im voraus trido |
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| 24.08.2008, 19:20 | trido | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Anhang Hallo und dankeschön mal für die vielen Infos. Also ich habe mich gleich mal ran gemacht und komm leider nicht weiter Zielgleichung : 24x +32y -> minimal Ungleichungen: I : 200x + 1000y >=50 II: 1000x + 400y >=100 III:400x + 400y >=60 IV:1400x + 800y >=180 V: x>= 0 VI: y>= 0 y= -24x/32 y= -0,75x Kmin III) ^ (IV) 400x + 400y =60 (*-2) 1400x+800y=180 ------------------------------------ -800x - 800y=-120 1400x+800y=180 ---------------------------------- 600x=60 x=0,1 400*0,1+400y=60 y=0,05 Laut meinen Aufzeichnungen sollte ich x und y in die Zielfunktionen einsetzen und somit die minimalen Kosten heraus bekommen. Da ich aber eine richtige Lösung (nur Zahl) habe weiß ich nicht was ich falsch gemacht habe weil es nicht übereinstimmt. Kann mir bitte jemand helfen ? Wo sind die Fehler ? Stimmen die Ungleichen bzw die Zielfunktion überhaupt ? Danke im voraus trido |
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| 24.08.2008, 19:50 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Lineare Optimierung Hallo trido, vorab: Wenn du ein Thread aufmachst, solltest du auch unter dem gleichen Thread antworten und nicht für die Antwort einen neuen aufmachen. Ich habe nur zufällig bemerkt, dass dies zu dem ursprunglichen 'Farm' gehört. Nun zur Sache: Das sieht bei dir schon sehr gut aus. Zielfunktion, Nebenbedingungen und die Gerade für z = konstant stimmen. Ich habe mir das jetzt schnell mal aufgemalt und bei mir ist ein anderer Eckpunkt noch optimaler. Das solltest du mal überprüfen. |
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| 26.08.2008, 06:48 | trido | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das hilft mir nicht. Es sollte ohne Aufzeichnen gehen. Ich muß auf die Lösung kommen ohne Aufzeichnen. Was mache ich falsch bitte ?? Komm nicht weiter mfg trido |
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| 26.08.2008, 09:14 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was du falsch machst, kann ich nicht sagen, ohne zu wissen, welche Eckpunkte du berechnest hast, welche Koordinaten deine Rechnung ergab und was du dann für die Zielfunktion herausbekommen hast. Die Koordinaten des Eckpunktes (III)-(IV) hast du richtig berechnet. Wenn die zeichnerische Ermittlung des optimalen Eckpunktes nicht erlaubt ist, musst du im Prinzip alle Eckpunkte berstimmen, für jeden die Zielfunktion berechnen und dann das Minimum nehmen. Das Problem dabei ist, dass nicht jeder Schnittpunkt von Nebenbedingungen ein Eckpunkt ist. Es kann ja sein, dass er eine der restlichen Nebenbedingungen nicht erfüllt. Also müsstest du erst alle Schnittpunkte berechnen und dann für jeden prüfen, ob er die restlichen Nebenbedingungen erfüllt. Das ist per Hand eine Heidenarbeit. Denn die 6 Nebenbedingungen ergeben 15 Schnittpunkte. Davon sind nur 5 Eckpunkte. Doch nun ein konkreter Tipp: Schau dir mal den Schnittpunkt (I)-(III) an. |
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