Integralkriterium

23.05.2006, 15:03

hä?

Integralkriterium

Moin moin!

kann mir vielleicht jemand ein paar Tips zu folgender Aufgabe geben?

Untersuchen Sie mit dem Integralvergleichskriterium, ob die folgenden Reihen konvergieren:

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~ \frac{ln~k}{k^2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{k}{e^{k^2}} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~ \frac{1}{k~ln~k} \end{eqnarray*}$

Also ich denke, dass es hier so gemeint ist, dass man gucken soll, ob man die Reihen durch uneigentliche Integrale ersetzen kann und dann natürlich, ob diese konvergieren, da es dort irgendwie leichter nachzuprüfen ist.
Wenn ja, dann konvergieren nämlich auch die Reihen.

Mein Problem dabei ist, dass ich nicht weiß wann man die Reihen durch uneigentliche Integrale erstzen kann.
Wenn ich das wüßte, dann müßte ich ja dann nur noch die Stammfunktionen bilden und dann den Grenzwert gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen.
Soweit richtig? verwirrt

Kann mir da jemand helfen?

23.05.2006, 15:42

Frooke

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Verschoben

23.05.2006, 15:53

hä?

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wohin denn verschoben??

edit: achso, hierhin, zu Höhere Matehmatik...

23.05.2006, 15:59

therisen

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RE: Integralkriterium

Zitat:

Original von hä?
Mein Problem dabei ist, dass ich nicht weiß wann man die Reihen durch uneigentliche Integrale erstzen kann.

http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

23.05.2006, 18:46

Frooke

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RE: Integralkriterium
Prüfe einfach

a) $\begin{eqnarray*} \int\limits_{2}^\infty\frac{\ln x}{x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^\infty\frac{x}{\mathrm e^{x^2}}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \int\limits_{2}^\infty\frac{1}{x\ln x}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Und das mit den Stammfunktionen und dem Einsetzen ist soweit richtig!

23.05.2006, 18:53

hä?

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RE: Integralkriterium
Danke therisen und Frook!

Also, da es alles monoton fallende Funktionen sind, darf ich überall das Integralvergleichskriterium anwenden.

für a) bekomm ich dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } \int_{2}^{a}~x^{-2}ln(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{a \to \infty}( [-x^{-1}lnx]_{2}^a + \int_{2}^{a}~x^{-2}~dx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{a \to \infty} [x^{-1}(-1-lnx)]_{2}^a =\frac{ln2}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also konvergiert das Integral und damit auch die Reihe.

Ist das so richtig?

24.05.2006, 00:26

hä?

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RE: Integralkriterium
für b) hab ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \int_{1}^{a}~xe^{-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} -x^2=u~~;~du=-2xdx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{a \to \infty} \int_{-1}^{-a^2}~\frac{-e^u}{2}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2e} \end{eqnarray*}$

also konvergiert b) auch, wenn ich das richtig gemacht habe.

Bei c) kann ich die Stammfunktion nicht finden, kann mir da jemand weiterhelfen?
Hilfe

24.05.2006, 08:16

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bisher sieht das alles gut aus. Freude

Für das letzte Integral substituierst du einfach lnx=u

24.05.2006, 08:51

Frooke

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RE: Integralkriterium

Zitat:

Original von hä?
Also, da es alles monoton fallende Funktionen sind, darf ich überall das Integralvergleichskriterium anwenden.

Anwenden darfst Du es immer. Du kannst Dir ja selbst ausmalen, dass das integral für konstante Funktionen ungleich der Nullfunktion und monoton steigende Funktionen sowieso unendliche Werte ergeben wird.

EDIT: Es ist also gewissermassen nur für monoton fallende Kurven tauglich (ist ja trivial).

24.05.2006, 13:42

hä?

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RE: Integralkriterium
Danke für eure Antworten leute!

Also c) ist ja eigentlich in der Form f´/f und daher ergibt das Integral ln(x), wie ich in einem ca. 1 Monat zurückliegenden Artikel von n! gefunden habe Augenzwinkern

Mit der Substitution krieg ich es nicht so ganz hin, da, wenn ich das so mache, wie du meintest, ich ja dort stehen habe:
lnx=u und du=1/x dx ,
und das Problem ist, dass ich ja nicht lnx, sondern 1/lnx da stehen habe, also müsste ich doch 1/lnx=u setzen und dann wäre du=-1/x(lnx)² dx ist das so richtig?

24.05.2006, 13:47

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Sei u=lnx

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} dx=xdu \end{eqnarray*}$

eingsetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{xu} \cdot x~du \end{eqnarray*}$

Siehst du es nun? Augenzwinkern

Mit Durchführung der Integration und anschließender Rücksubstitution komm übrigens ein schönes Ergebnis raus:

$\begin{eqnarray*} ln(ln(x)) \end{eqnarray*}$

Den Rest kannst du ja alleine

24.05.2006, 20:08

hä?

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Danke n!, jetzt ist mir alles klar.

Die Aufgabe ist erledigt!

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