Folgen, Reihen und reelle Funktionen

23.05.2006, 16:50

Campbells

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Folgen, Reihen und reelle Funktionen

Hallo,
ich habe eine große Bitte an Euch:
kann mir jemand Folgen, Reihen und reelle Funktionen vereinfacht erklären?
Ich habe das Thema noch nie gehabt, und in meinem Studienheft wird es mehr schlecht als recht erklärt...ich weiß, dass die Frage sehr pauschal ist, aber vielleicht gibt es diese Themen ja schon im Forum (und ich hab sie nicht gefunden)?
Ich wäre wirklich über Hilfe dankbar!!! Gott

Gott

Gott

Gott

23.05.2006, 17:07

Frooke

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Mal ganz unexakt und intuitiv:

Eine Funktion f(x) ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem x aus dem Definitionsbereich ID einen Wert y=f(x) zuweist. Dabei gehört y zur Wertemenge IW.

Beispielsweise gilt für

$\begin{eqnarray*} f(x)=x+2 \end{eqnarray*}$

folgendes:

f(a)=a+2
f(3)=5
f( Big Laugh

Big Laugh

)=

Big Laugh

+2
usw.

Eine Reihe ist eine unendliche Summe, also irgendetwas in der Form:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=x}^{\infty} \operatorname{vorschrift}(n) \end{eqnarray*}$

Eine Folge ist z.B. $\begin{eqnarray*} a_{n_{}}\operatorname{vorschrift}(n),~~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Dabei gibt es auch rekursiv definierte Folgen:

$\begin{eqnarray*} a_0=k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\operatorname{vorschrift}(a_n) \end{eqnarray*}$

aber suche nochmals. Ich hab da schon viel gefunden.

23.05.2006, 18:39

Lazarus

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Der Grundlegenden Unterschied ist, das eine Folge eine Zuordnungsvorschrift von den Natürlichen Zahlen auf die Rellen Zahlen ist, also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ also diskrete Werte, während eine Relle Funktion dies nicht sein muss.
Diese ist in der Regel eine Zuordnungsvorschrift $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw auf Teilmengen davon.

Folgen sind somit eine Unterart der Funktionen.

Jetzt werd ich wohl auch ein bisschen vereinfachen müssen, aber ohne kann ichs leider nicht.

Eine Reihe ist die Summe aller Folgenglieder, oder der Glieder von Teilfolgen einer solchen.
Vergleichbar wäre das mit dem Integral einer einer Funktion. (nur Vergleichbar !!)

28.05.2006, 14:12

Campbells

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danke für die Antworten Mit Zunge

Mit Zunge

nun zu den Aufgaben geschockt

geschockt

Untersuche die Folge mit dem allgemeinen Glied

an = 7n + 8 / 9n + 10

auf Monotonie.

Wie muss man dabei vorgehen??
verwirrt

verwirrt

28.05.2006, 14:20

klarsoweit

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Dazu sollte man erstmal wissen, was Monotonie bedeutet. Also:

Eine Folge a_n heißt monoton steigend genau dann, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} >= a_n \end{eqnarray*}$ für alle n aus N.

Eine Folge a_n heißt monoton fallend genau dann, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} <= a_n \end{eqnarray*}$ für alle n aus N.

Gilt die Beziehung auch ohne dem "="-Zeichen, so spricht man von strenger Monotonie.

Für deine Aufgabe: bilde die Differenz $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$ und untersuche, ob diese immer >= bzw. <= Null ist.

28.05.2006, 15:20

Campbells

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Zitat:

Original von klarsoweit
Für deine Aufgabe: bilde die Differenz $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$ und untersuche, ob diese immer >= bzw. <= Null ist.

Hallo Klarsoweit smile

smile

,

dann also: a_n+1 - a_n > 0
(7n + 8) + 8 (7n + 8)
--------------- +1 - ---------- > 0
(9n + 10) (9n + 10)

stimmt das im Ansatz??

die zweiten Klammern in der Zeile gehören zu dem Bruchstrich...habe leider Probleme mit dem Formeleditor...

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28.05.2006, 16:23

klarsoweit

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Tut mir leid, da kann ich nichts draus erkennen.
Ich nehme mal an, daß deine Folge so aussieht:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{7n + 8}{9n + 10} \end{eqnarray*}$

Was ist dann $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

29.05.2006, 14:55

Campbells

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$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{7n + 8}{9n + 10} \end{eqnarray*}$ +1 würde ich vermuten verwirrt

verwirrt

29.05.2006, 15:25

Frooke

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Nein, Du musst überall wo n steht «n+1» einsetzen.

29.05.2006, 15:39

Campbells

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$\begin{eqnarray*} a_n+1 = \frac{(7n+1) + 8}{(9n+1) + 10} \end{eqnarray*}$

??? verwirrt

verwirrt

29.05.2006, 15:54

PK

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nein, nein, nicht, wo $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ steht ein (+1) dranhängen, sondern jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in deinem Bruch durch eine solche Klammer $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ ersetzen und das dann vereinfachen.

29.05.2006, 16:01

Frooke

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Es ist gleich wie bei Funktionen:

Am Beispiel der Quadratfunktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a)=a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(b+v+c)=(b+c+v)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(cx)=c^2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(n)=n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(n+1)=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

29.05.2006, 16:17

Campbells

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vereinfacht wäre das dann:

$\begin{eqnarray*} a_(n+1) = \frac{7n+15 }{9n+19} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

29.05.2006, 16:21

Frooke

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Jepp.

29.05.2006, 16:24

Campbells

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Zitat:

Original von Frooke
Jepp.

und das ganze mach ich dann mit 2; 3; 4; ... um die Monotonie festzustellen?

29.05.2006, 16:27

Frooke

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Nein, für ein allgemeines n reicht völlig.

Wenn gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n\geq 0\qquad\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann hast Du gezeigt, dass a_n monoton steigt. Gilt jedoch $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n\leq 0\qquad\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , fällt die Folge monoton.

EDIT: Präzisierung und Satzzeichen... smile

smile

29.05.2006, 16:30

Campbells

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aha... danke! Freude

Freude

vielleicht kannst du mir (wenn du die Nerven noch hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

) bei der Untersuchung auf Konvergenz helfen??

a_n=sin n pi/2 mit n e N*

29.05.2006, 16:37

Frooke

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Zitat:

Original von Campbells
(wenn du die Nerven noch hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Big Laugh

...

Lautet Deine Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=\sin\left(n \frac{\pi}{2}\right) \qquad n\in\mathbb N^* \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\pi}{2}\sin n \qquad n\in\mathbb N^* \end{eqnarray*}$

Ist IN* einfach ohne die Null, nehm ich an...

29.05.2006, 16:45

Campbells

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[/quote] Lautet Deine Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=\sin\left(n \frac{\pi}{2}\right) \qquad n\in\mathbb N^* \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\pi}{2}\sin n \qquad n\in\mathbb N^* \end{eqnarray*}$

Ist IN* einfach ohne die Null, nehm ich an...[/quote]

Die erste ohne Klammern
IN* ist ohne Null

29.05.2006, 16:53

Frooke

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Also

$\begin{eqnarray*} a_n=\sin\left(n \frac{\pi}{2}\right) \qquad n\in\mathbb N^* \end{eqnarray*}$

Hast Du einen Ansatz?

Sonst ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=\sin\left(2\frac{\pi}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\sin\left(3\frac{\pi}{2}\right)=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=\sin\left(4\frac{\pi}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_5=\ldots \end{eqnarray*}$

EDIT: Die Klammer ist wichtig, sie zeigt an, welches das Argument des Sinus ist! Deshalb habe ich es bei der anderen Variante umgekehrt geschrieben!

29.05.2006, 17:01

Campbells

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mir ist klar, dass du in n die Zahlen 1;2;3;4 einsetzt. Leider weiß ich nicht, wie man auf die Ergebnisse kommt (a_1=1, a_2=0 usw.) unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

29.05.2006, 17:03

Frooke

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Verdeutliche Dir das am Einheitskreis: pi/2 ist ein 90°-Winkel, der Sinus ist also 1
pi ist ein 180°-Winkel, der Sinus also 0 usw.

29.05.2006, 17:08

Campbells

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Zitat:

Original von Frooke
Verdeutliche Dir das am Einheitskreis: pi/2 ist ein 90°-Winkel, der Sinus ist also 1
pi ist ein 180°-Winkel, der Sinus also 0 usw.

aha...jetzt versteh ich's (diese Erklärung zumindest) aber wie gehts weiter? Eine Konvergenz ist doch, wenn ein Grenzwert existiert. Richtig? (Ich bin wirklich eine Matheniete... traurig

traurig

)

29.05.2006, 17:56

Frooke

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Offensichtlich existiert kein Grenzwert, weil für immer grössere n immer wieder -1,0,1,0,-1 usw. herauskommt. Die Folge ist also divergent (sie alterniert bzw. oszilliert). Man könnte das noch etwas mathematischer formulieren, aber ich denke, das sollte als Begründung reichen. smile

smile

29.05.2006, 18:11

Campbells

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smile

vielen lieben Dank, Frooke!! Freude

Freude

29.05.2006, 21:04

system-agent

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schreibt man da dann nicht, dass die folge zwei häufungspunkte besitzt? verwirrt

verwirrt

29.05.2006, 21:09

Frooke

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mMn kann man von Häufungspunkten reden, wenn eine Teilfolge gegen diesen Wert konvergiert... In diesem Sinne ja!

EDIT: 0 wäre aber auch Häufungspunkt.

29.05.2006, 21:25

system-agent

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dann eben 3 häufungspunkte *smile*

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